Министерство Образования Российской Федерации
    Отдел образования Ленинского района
    Техничестая школа-лицей.
    Д О К Л А Д
    Комплексные числа и действия с ними.
    Ученика 9 "а" класса
    Князева Вячеслава.
    г. Владивосток
    1998
    1. История развития комплексных чисел.
    Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения, т.е. ещё в 16 веке. И до этого открытия при решении квадратного уравнения x2 + + = px приходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из (p/2)2 - q, где величина (p/2)2 была меньше, чем q. Но в таком случае заключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это время (когда даже отрицательные числа считались "ложными") не могло быть и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень. Теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных чисел многим казалось сомнительным. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал и в 18 веке русский академик Эйлер - один из величайших математиков всех времён и народов. На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831 г. когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом (Германия), он стал всеобщим достоянием.
    2.О комплексных числах. Всвязи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Онии называются комплексными. Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b - действитель- ные числа , а i - число нового рода, называемое мнимой единицей. "Мнимые" числа составляют частный вид комплексных чисел (когда а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0). Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b - ординатой комплексного числа a + bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведе- ние i*i равно -1, т.е.
    i2= -1. (1) Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами - в частности правилу (1). Отсюда названия: "мнимая единица", "мнимое число" и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике. Оставим в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i, потому что в разных областях науки этот смысл различен. Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. ............