ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
1. Сохранение массы. Уравнение неразрывности
Материальный континуум обладает свойством, называемым массой. Суммарная масса некоторой части сплошной среды, занимающей в момент t объем пространства V, выражается интегралом
(1.1)
где - непрерывная функция координат, называемая плотностью. Закон сохранения массы, утверждает, что масса выделенной части среды остается постоянной и, следовательно, материальная производная от (1.1) равна нулю. Если в формуле (4.52) положить P'ij. (x, t) ss р (х, 0, то получим выражение для скорости изменения массы т
(1.2)
Поскольку это равенство верно для произвольного объема V, подинтегральное выражение само должно обращаться в нуль, т. е.
или (1.3)
Это уравнение называется уравнением неразрывности (или непрерывности). Раскрывая оператор материальной производной, его можно написать в другой равнозначной форме
, или (1.4)
В несжимаемой среде плотность массы каждой частицы не зависит от времени, т. е. , и уравнение (1.3) принимает вид
, или . (1.5)
Поле скорости в несжимаемой среде можно поэтому представить выражением
или , (1.6)
где функция называется векторным потенциалом .
Уравнение неразрывности можно записывать в лагранжевой, или материальной, форме. Для сохранения массы требуется, чтобы выполнялось уравнение
. (1.7)
Здесь оба интеграла взяты по одним и тем же частицам, т. е. V - это объем, который теперь занимает среда, заполнявшая в момент t = 0 объем . Используя (4.1) и (4.38), интеграл в правой части (1.7) можно преобразовать следующим образом:
(1.8)
Соотношение (1.8) должно иметь силу для произвольно выбранного объема , и поэтому
(1.9)
Это означает, что произведение не зависит от времени, так как объем V произволен, т. е. что
(1.10)
Уравнение (1.10) является лагранжевой дифференциальной формой уравнения неразрывности.
2. Теорема об изменении количества движения. Уравнения движения
Уравнения равновесия
На рис. 2.1 изображен движущийся объем сплошной среды V в момент t. На него действуют массовые силы с плотностью распределения . На каждом бесконечно малом элементе поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем, действует вектор напряжения . Во всей области, занятой средой, определено поле скоростей . Общее количество движения системы масс, заполняющих объем V, определяется интегралом
. (2.1)
Основываясь на втором законе Ньютона, теорема об изменении количества движения утверждает, что скорость изменения со временем количества движения некоторой части континуума равна результирующей сил, действующих на рассматриваемую область. ............