Алгебра матриц Основные понятия
    Определение. Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, заполненная некоторыми математическими объектами, называется - матрицей.
    Мы будем рассматривать числовые матрицы. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Для обозначения матрицы, как правило, используются круглые скобки. При записи, в общем виде элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, из которых первый указывает номер строки, а второй - номер столбца матрицы. Например, матрица
    
    
    В сокращенной записи: А=(аij); где аij - действительные числа, i=1,2,...m;
    j=1,2,...,n (кратко , . ). Произведение называют размером матрицы.
    Матрица называется квадратной порядка n, если число ее строк равно числу столбцов и равно n:
    
    Упорядоченный набор элементов а11,а22,...,аnn называется главной диагональю, в свою очередь, а1n,а2,n-1,...,аn1 - побочной диагональю матрицы. Квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условию:
    называется диагональной, т.е. диагональная матрица имеет вид:
    
    Диагональная матрица порядка n называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Матрица любого размера называется нулевой или нуль матрицей, если все ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е, нулевая - О. Матрицы имеют вид:
     Линейные операции над матрицами
    Определение. Суммой матриц А=(аij) и B=(bij) одинаковых размеров называется матрица С=(сij) тех же размеров, такая что cij=aij+bij для всех i и j.
    .
    Таким образом, чтобы сложить матрицы А и В, надо сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,
    A + B = = C
    Определение. Произведение матрицы А на число ? называется матрица ?А=(? аij), получаемая умножением всех элементов матрицы А на число ?.
    
    
    Например, если и ?=5, то
    
    Разность матриц А и В можно определить равенством А-В=А+(-1)В.
    Рассмотренные операции называются линейными.
    Отметим некоторые свойства операций.
    Пусть А,В,С - матрицы одинакового размера; ?,? - действительные числа.
    А+В = В+А - коммутативность сложения.
    (А+В)+С = А+(В+С) - ассоциативность сложения.
    Матрица О, состоящая из нулей, играет роль нуля: А+О=А.
    Для любой матицы А существует противоположная -А, элементы которой отличаются от элементов А знаком, при этом А+( -А)=О.
    ?(?А) = (??)А = (?А)?. 6. (?+?)А = ?А+?А.
    7. ?(А+В) = ?А+?В. 8. 1* А = А. 9. 0 * А = 0. Умножение матриц
    В матричной алгебре важную роль играет операция умножения матриц, это весьма своеобразная операция.
    Определение. Произведением матрицы А=(аij) размера и прямоугольной матрицы B=(bij) размера называется прямоугольная матрица С=(сij) размера , такая что cij=ai1+b1j+ ai2+b2j+...+ aik+bkj; , .
    Таким образом, элемент произведения матриц А и В, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца второй матрицы В т.е.
    .
    Произведение С=АВ определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. ............