ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Авиа- и ракетостроение»
Специальность 160801- «Ракетостроение»
Расчетно-графическая работа
по дисциплине «Основы САПР»
Аппроксимация функций
Омск 2006
Введение
Цель работы: Ознакомиться с методами интерполяции и аппроксимации функций
Задания:
Задание 1. Построить таблицу конечных разностей. Выполнить экстраполяцию на два узла от начала и от конца таблицы.
Задание 2. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа и с его помощью найти
значения функции в узлах, соответствующих полушагу таблицы.
Задание 3. Найти значение f(x) с помощью формул Ньютона интерполирования вперед и назад.
Задание 4. Выполнить квадратичную сплайн-интерполяцию (по 6 узлам). Проконтролировать полученные оценки для промежуточных узлов.
Задание 5. Считая выбранную таблицу заданной для диапазона от 0 до 2, выполнить среднеквадратическую аппроксимацию тригонометрическим многочленом (отрезком ряда Фурье) третьей степени.
Исходные данные:
x=[11.0 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12];
y=[-0.00023,1.080087,2.064282,2.854531,3.37121,3.560925,3.402017,2.90698,2.121544,1.120452,0.000357];
1. Построение массива конечных разностей. Выполнение экстраполяции
Массив конечных разностей рассчитываем по формуле:
.
for i=1:10
for j=1:11-i
y(i+1,j)=y(i,j+1)-y(i,j);
end
end
Результат расчёта:
11,0
11,1
11,2
11,3
11,4
11,5
11,6
11,7
11,8
11,9
11,0
-0,0002
1,0801
2,0643
2.8545
3.3712
3.5609
3.4020
2.9070
2.1215
1.1205
0.0004
1.0803 0.9842 0.7902 0.5167 0.1897 -0.1589 -0.4950 -0.7854 -1.0011 -1.1201
-
-0.0961 -0.1939 -0.2736 -0.3270 -0.3486 -0.3361 -0.2904 -0.2157 -0.1190 -
-
-0.0978 -0.0796 -0.0534 -0.0217 0.0125 0.0457 0.0747 0.0967
-
-
-
0.0182 0.0262 0.0317 0.0342 0.0332 0.0290 0.0219
-
-
-
-
0.0080 0.0055 0.0024 -0.0009 -0.0042 -0.0071
-
-
-
-
-
-0.0025 -0.0031 -0.0033 -0.0033 -0.0029
-
-
-
-
-
-
-0.0006 -0.0002 0.0000 0.0004
-
-
-
-
-
-
-
0.0003 0.0003 0.0004
-
-
-
-
-
-
-
-
-0.0000 0.0001
-
-
-
-
-
-
-
-
-
0.0002
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Экстраполяция на два узла от начала и конца таблицы с помощью многочлена Лагранжа.
n=11; % Степень многочлена
i=0;
for p=10.8:0.1:12.2
i=i+1;
x1(i)=p;
ff(i)=Lagrange(x,y,p,n);
end
for j=1:11
yy(j)=y(1,j);
end
subplot(2,1,1); plot(x,yy,'.-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on; title('Первоначальные данные')
subplot(2,1,2); plot(x1,ff,'.-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on; title('Экстраполяция')
Получим:
х 10.8 10.9 12.1 12.2 f(х) -2,0234 -1,0701 -1,1291 -2,1535
Рис. 1. Экстраполяция на два узла многочленом Лагранжа
2. Нахождение значения приближенной функции с помощью многочлена Лагранжа
Запишем интерполяционный многочлен Лагранжа:
,
где х – произвольная координата на заданном интервале.
_____________________________________________________________
function [x]=Lagrange(x,y,a,n)
for i=1:n
for j=1:n
s(i,j)=1;
end
end
ss=1;
for j=1:n
for i=1:n
if j~=i
s(j,i)=(a-x(i))/(x(j)-x(i));
end
end
end
ss=prod(s,2);
L=0;
for k=1:n
L=L+y(1,k)*ss(k);
end
x=L;
_____________________________________________________________
i=0;
for p=11:0.01:12
i=i+1;
x1(i)=p;
ff(i)=Lagrange(x,y,x1(i),n);
end
subplot(2,1,2); plot(x1,ff,'.-'); ylabel('y'); xlabel('x'); grid on; title('Интерполяция многочленом Лагранжа')
Рис. ............
