Курсова робота
"Беселеві функції"
1. Беселеві функції з будь-яким індексом
Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
Щоб пояснити походження Беселевих функцій, розглянемо рівняння Лапласа в просторі:
. (1)
Якщо перейти до циліндричних координат по формулах:
, , ,
те рівняння (1) прикмет наступний вид:
. (2)
:
,
Нехай є рішення згаданого виду. Підставляючи його в (2), одержимо:
,
звідки (після ділення на )
.
Записавши це у вигляді:
,
знайдемо, що ліва частина не залежить від , права не залежить від , ; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна . Звідси:
; ;
; ;
.
В останній рівності ліва частина не залежить від , права не залежить від ; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна . Звідси:
, ;
, .
Таким чином, , , повинні задовольняти лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:
,
(3)
, ,
з яких друге й третє є найпростіші лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зі змінними коефіцієнтами нового виду.
Обернено, якщо , , задовольняють рівнянням (3), тобто рішення рівняння (2). Справді, підставляючи в ліву частину (2) і ділячи потім на , одержимо:
.
Таким чином, загальний вид всіх трьох рішень рівняння (2), які є добутком трьох функцій, кожна з яких залежить від одного аргументу, є , де , , – будь-які рішення рівнянь (3) при будь-якому виборі чисел , .
Перше з рівнянь (3) у випадку , називається рівнянням Беселя. Думаючи в цьому випадку , позначаючи незалежну змінну буквою (замість ), а невідому функцію – буквою (замість ), знайдемо, що рівняння Беселя має вигляд:
. (4)
Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє більшу роль у додатках математики. Функції, йому задовольняючі, називаються Беселевими, або циліндричними, функціями.
Беселеві функції першого роду
Будемо шукати рішення рівняння Беселя (4) у вигляді ряду:
.
Тоді
,
,
,
.
Отже, приходимо до вимоги
або до нескінченної системи рівнянь
,
яка розпадається на дві системи:
Перша з них задовольниться, якщо взяти … У другій системі можна взяти довільно; тоді … однозначно визначаються (якщо не є цілим негативним числом). Взявши
,
знайдемо послідовно:
,
,
,
і як рішення рівняння (4) одержимо ряд:
Цей ряд, що формально задовольняє рівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень і, отже, є рішенням рівняння (4) в області (у випадку цілого в області ).
Функція
(5)
називається бесселевой функцією першого роду з індексом . Вона є одним з рішень рівняння Беселя (4). У випадку цілого ненегативного індексу одержимо:
, (5`)
і, зокрема,
. (5``)
Загальне рішення рівняння Беселя
У випадку нецілого індексу функції і є рішеннями рівняння (4). Ці рішення лінійно незалежні, тому що початкові члени рядів, що зображують ці функції, мають коефіцієнти, відмінні від нуля, і містять різні ступені . Таким чином, у випадку нецілого індексу загальне рішення рівняння Беселя є:
. (6)
Якщо (ціле негативне число), то функція, обумовлена формулою (5) (з огляду на, що дорівнює нулю для …), приймає вид:
(5```)
або, після заміни індексу підсумовування на ,
, (7)
звідки видно, що задовольняє разом з рівнянню Беселя
.
Але формула (6) у випадку цілого вже не дає загального рішення рівняння (4).
Думаючи
( – не ціле) (8)
і доповнюючи це визначення для (ціле число) формулою:
, (8`)
одержимо функцію , що задовольняє рівнянню Беселя (4) і у всіх випадках лінійно незалежну від (у випадку , де – ціле). Функція називається беселевою функцією другого роду з індексом . ............
