Бесконечные антагонистические игры Определение бесконечной антагонистической игры
    Естественным обобщением матричных игр являются бесконечные антагонистические игры (БАИ), в которых хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий. Мы будем рассматривать игры двух игроков, делающих по одному ходу, и после этого происходит распределение выигрышей. При формализации реальной ситуации с бесконечным числом выборов можно каждую стратегию сопоставить определённому числу из единичного интервала, т.к. всегда можно простым преобразованием любой интервал перевести в единичный и наоборот.
    Напоминание. Пусть Е некоторое множество вещественных чисел. Если существует число y, такое, что x ? y при всех х?Е (при этом y не обязательно принадлежит Е), то множество Е называется ограниченным сверху, а число y называется верхней границей множества Е. Аналогично определяется ограниченность снизу и нижняя граница множества Е. Обозначаются верхняя и нижняя границы соответственно через sup Е и inf Е соответственно.
    Пример. Пусть множество Е состоит из всех чисел вида , n = 1,2, ... Тогда множество Е ограничено, его верхняя грань равна 1, а нижняя 0, причём 0?Е , а 1?Е.
    Для дальнейшего изложения теории игр этого класса введём определения и обозначения : [0; 1] единичный промежуток, из которого игрок может сделать выбор; х число (стратегия), выбираемое игроком 1; y число (стратегия), выбираемое игроком 2; Мi(x,y) выигрыш i-го игрока; G (X,Y,M1,M2) игра двух игроков, с ненулевой суммой, в которой игрок 1 выбирает число х из множества Х, игрок 2 выбирает число y из множества Y, и после этого игроки 1 и 2 получают соответственно выигрыши M1(x, y) и M2(x, y). Пусть, далее, G (X,Y,M) игра двух игроков с нулевой суммой, в которой игрок 1 выбирает число х, игрок 2 число y, после чего игрок 1 получает выигрыш М(x, y) за счёт второго игрока.
    Большое значение в теории БАИ имеет вид функции выигрышей M(x, y). Так, в отличии от матричных игр, не для всякой функции M(x, y) существует решение. Будем считать, что выбор определённого числа игроком означает применение его чистой стратегии, соответствующей этому числу. По аналогии с матричными играми назовём чистой нижней ценой игры величину
    V1 = M(x, y) или V1 = M(x, y),
    а чистой верхней ценой игры величину
    V2 = M(x, y) или V2 = M(x, y),
    Для матричных игр величины V1 и V2 всегда существуют, а в бесконечных играх они могут не существовать.
    Естественно считать, что, если для какой-либо бесконечной игры величины V1 и V2 существуют и равны между собой (V1 = V2 = V), то такая игра имеет решение в чистых стратегиях, т.е. оптимальной стратегией игрока 1 есть выбор числа xo?X и игрока 2 числа yo?Y, при которых M(xo, yo) = V, в этом случае V называется ценой игры, а (xo, yo) седловой точкой в чистых стратегиях.
    
    Пример 1. Игрок 1 выбирает число х из множества Х = [0; 1], игрок 2 выбирает число y из множества Y = [0; 1]. После этого игрок 2 платит игроку 1 сумму
    M(x, y) = 2х2 ? y2.
    Поскольку игрок 2 хочет минимизировать выигрыш игрока 1, то он определяет
    (2x2 ? y2) = 2х2 ? 1,
    т.е. при этом y = 1. Игрок 1 желает максимизировать свой выигрыш, и поэтому определяет
    (M(x, y)) = (2х2 ? 1) = 2?1 = 1,
    который достигается при х = 1.
    Итак, нижняя цена игры равна V1 = 1. ............