БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

кафедра информационных технологий и автоматизированных систем

РЕФЕРАТ

на тему:

«Частотные характеристики линейных систем управления»

Минск, 2008

Математическим аппаратом исследования САУ являются дифференциальные уравнения, которые описывают движение системы и являются уравнениями динамики. Из уравнений динамики, положив все производные равными нулю, можно получить уравнения статики, которые описывают поведение системы в установившемся режиме.

Дифференциальные уравнения САУ и ее элементов, составленные в соответствии с физическими законами их функционирования и факторами, от которых зависят переменные уравнений, практически всегда являются нелинейными. Дифференциальные уравнения САУ, записанные в виде системы уравнений или одного дифференциального уравнения высокого порядка представляют собой математическую модель системы. Математическая модель является основой для анализа свойств системы и степени их соответствия поставленным требованиям. Итак, исходная математическая модель САУ является нелинейной. Отсутствие однозначных аналитических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений не позволяет создать какие-либо общие эффективные методы анализа и синтеза САУ. Именно это и послужило причиной развития идеи линеаризации, т.е. замены исходной нелинейной модели линейной, близкой по решению к исходной модели в определенном диапазоне изменения начальных условий и параметров.

Линеаризация нелинейных функций в области малых отклонений (всех координат от установившихся значений) основана на разложении нелинейных функций в ряд Тейлора в окрестности установившихся значений (положения покоя, например) и ограничении линейными членами разложения.

Пусть система управления описывается дифференциальным уравнением n-го порядка, разрешенным относительно старшей производной

,

где F и F1 - некоторые нелинейные функции. Представим переменные, входящие в уравнение в следующем виде:

Здесь ,  - отклонение координат  и  от установившихся значений  и  соответственно. Разложим нелинейные функции в ряд Тейлора в окрестности установившегося значений и ограничимся линейными членами

,

.

Нулевой индекс при частных производных означает, что они определены при установившихся значениях всех переменных.

Допустим, что отклонения переменных от установившегося значений настолько малы, что остаточными членами можно пренебречь как бесконечно малыми высших порядков малости по сравнению с членами, содержащими отклонения в первой степени. В соответствии с этим предположениям будем полагать R = 0 , R1 = 0.

C учетом сделанных предположений и обозначений дифференциальные уравнения системы примут вид

,

где

.

Уравнение установившегося движения можно получить из последнего уравнения, положив все отклонения равными нулю:

.               (1)

Установившееся движение в рассматриваемом случае не представляет предмета исследования. Вычтем из полученного уравнения движения в окрестности уравнение установившегося движения и получим уравнение в отклонениях, поведение которых нас и интересует. ............