Міністерство освіти і науки України
Житомирський державний технологічний університет
Кафедра ТМ та КТС
Група ЗІМ 03-1т
Курсова робота
з інформатики
на тему: «Чисельне інтегрування. НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ПОЛІНОМАМИ ВИЩОГО ПОРЯДКУ»
Житомир
Зміст
Завдання № 1. – Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона
Завдання № 2. – Знаходження коренів рівняння методом Ньютона Завдання № 3,4. – Наближення функцій поліномами вищого порядку Завдання № 5. – Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера
Завдання № 1
Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона
Розрахувати за допомогою формул трапецій та Сімпсона значення інтегралу від функції y=f(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+a 4x4+a5x5 з точністю до п’ятого знака. Визначити похибки розрахунків для різних значень n – e8 та e4
Вихідні дані:
Варіант
a0
a1
a2
a3
a4
a5
2
1 0.9 0.8 0.7 0.5 2.3
Реалізація у MS Excel:
Хід виконання:
Визначений інтеграл чисельно рівний площі криволінійної трапеції, яка описується кривою y = f(x), віссю х та двома прямими, паралельними осі ординат x = a, x = b. Тому знаходження розв’язку інтеграла є визначення відповідної площі.
Розіб’ємо відрізок [a, b] = [0, 1] на n=16 рівних елементарних трапецій із площами s. Величину D, що дорівнює основі кожної із елементарних трапецій, позначимо буквою h і називатимемо кроком квадратурної формули, який визначається з формули
Таким чином, шукана формула трапецій має вигляд
де cj = 1,2,2,2,….2,1.
Для формули парабол (Сімпсона) замість двох прямолінійних трапецій розглядається одна трапеція, яка обмежена параболічною дугою
Елементарна площа визначається інтегралом
Враховуючи, що
Отримаємо формулу парабол (Сімпсона)
де cj = 1, 4, 2, 4, 2,…..2, 4, 1.
У формулі трапецій n є довільним числом, у формулі Сімпсона воно повинно бути парним.
Завдання № 2 Знаходження коренів рівняння методом Ньютона
Визначити всі дійсні корені поліному P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3 за допомогою методів Ньютона (дотичних) та методу „січних”. Результати розрахунків звести у таблицю.
Вихідні дані:
Варіант
a0
a1
a2
a3
2
1,3 -7 -4 -4
Реалізація у MS Excel:
Хід виконання:
1. Будуємо графік заданої функції та визначаємо з нього приблизне значення кореня х0 ≈ 0,17
2. Проводимо уточнення коренів за методом Ньютона та січних з точністю e=10-5 .
В розрахунках наближене значення похідної знаходиться за формулою:
При уточненні коренів рівняння методом Ньютона користуємось наступними формулами:
Чергове k-е наближення:
В якості малої величини беремо задану точність обчислень , тоді розрахункова формула має вигляд:
При уточненні коренів рівняння методом січних користуємось наступними формулами:
Для першого наближення:
Для подальших наближень:
Завдання № 3,4
Наближення функцій поліномами вищого порядку
Функція y=f(x) задана таблицею значень у точках . Використовуючи метод найменших квадратів (МНК), знайти многочлен найменшого середньоквадратичного наближення оптимальної степені m=m*. За оптимальне значення m* прийняти ту степінь многочлена, починаючи з якої величина стабілізується або починає зростати.
Вихідні дані:
Варіант 2
x
0 0,375 0,563 0,75 1,125 1,313 1,5 1,690 1,875 2,063 2,25 2,438 2,625 2,813 3
y
4.568 3,365 2,810 2,624 0,674 0,557 0,384 -0,556 -1,44 -1,696 -1,91 -2,819 -3,625 -3,941 -4,367
Хід виконання:
1. Задаємо вектори x та y вихідних даних.
2. Використовуючи метод найменших квадратів, знаходимо многочлени Pm, m = 0,1,2... Розраховуємо відповідні їм значення .
3. ............
