Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики
    
    СОДЕРЖАНИЕ
    1. Общая постановка задачи
    2. Постановка тестовых задач
    3. Методика решения тестовых задач
    4. Результаты вычислений
    Список литературы
    Приложения
    Приложение 1: Описание программы
    Приложение 2: Текст программы
    
    1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
     Перенос тепла (или вещества) теплопроводностью (для вещества соответственно диффузией) и конвекцией описывается дифференциальным уравнением параболического типа:
    ( 1 )
    где температура (или концентрация). Пусть являются некоторыми константами и . Уравнение (1) при указанных выше предположениях называется модельным уравнением диссипации, конвекции и кинетики. Слагаемые правой части имеют следующий физический смысл:
     - соответствует переносу тепла теплопроводностью (или вещества диффузией);
     - соответствует конвективному переносу;-
     - "кинетический член", соответствует источнику, пропорционально-
     му температуре или концентрации;
     - интенсивность внешних источников или стоков.
    В дальнейшем будем рассматривать только тепловую интерпретацию уравнения (1).
     Численное решение уравнения (1) будем искать в области :
    ( 2 )
    при заданных начальных значениях температуры: ( 3 )
    и граничных условиях.
     Граничные условия описывают режимы теплообмена с внешней средой:
     при ;
     при .
    
    2. ПОСТАНОВКА ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ
     В качестве тестовых задач для температуры мною были выбраны следующие пять функций:
    ( 9 )
    ( 10 )
    ( 11 )
    ( 12 )
    ( 13 )
     Для функции (9) имеем:
    
    
    Для функции (10):
    
    
    
     Для функции (11):
    
    
    
    
     Для функции (12):
    
    
     Для функции (13):
    
    
     Данные функции тестировались на отрезке по X: [0, 1], по времени: [0, 1], с количеством разбиений по этим отрезкам - 30.
    
    3. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ
    Данная задача решается с помощью двухслойной неявно конечно-разностной схемы.
     Схема реализуется в три этапа.
    1 этап: находятся предварительные значения с помощью 4-х точечной неявной схемы:
    ( 5 )
    2 этап: используется за два шага. Сначала находятся на полученном слое () с шагом , а затем через . В этом случае используется 4-х точечная неявная разностная схема:
    ( 6 )
    ( 7 )
    3 этап: окончательные значения находятся в виде линейной комбинации двух предварительных значений:
    ( 8 )
    
    Для решения (1) воспользуемся формулами (5) - (8). Данные уравнения представляют трех диагональные матрицы, решаемые методом скалярной прогонки.
     В начале нужно преобразовать (5) - (7) к виду:
    ( 14 )
    Тогда (5) примет вид:
    
    
    
     Т.е. ............