ЛЕКЦИЯ №5
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
СНУ
Пусть дана система вида:
(5.1)
f'(x)= - производная
Частная производная - вектор (все значения).
МЕТОД НЬЮТОНА
Дана система вида (5.1), где fi один раз непрерывно дифиринцируемые функции, т.е. существуют все частные первые производные этих функций.
Строим последовательность приближений сходящуюся к точному решению системы .
Пусть - некоторое начальное приближение к решению, а - катое приближение к решению. Построим зависимость, позволяющую на основании построить .
Точное приближение
ξ-корень обращает уравнение в верное равенство(тождество).
(5.2)
Разложим функции fi из системы (5.2) в ряд Тейлора в окрестности точки хк до линейных составляющих.
(5.3)
Система (5.3) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений для поиска компонента вектора поправки hk.
Перепишем систему (5.3) в виде:
(5.4)
Сокращаем запись системы (5.4) : (5.5)
Решим систему (5.5) методом обратной матрицы. Определитель Якобиана в точке хк не равен 0.
Получили связь последующего приближения с предыдущим.
(5.6)
условие окончания вычислений. (5.7)
- расстояние между векторами (метрика).
МЕТОД ИТЕРАЦИЙ
Пусть дана система вида (5.1). Преобразуем ее к виду (5.8)
Система (5.8) в векторном виде (5.9)
Необходимо найти неподвижную точку систему
Очевидно, что эта точка ξ – решение системы (5.1)
Пусть дано -некоторое начальное приближение к ξ и на k-том шаге получено приближение . Тогда последующее приближение :
(5.10)
Условие окончания совпадает с (5.7)
Всегда ли метод сходится?
Пусть М- матрица, составлена из элементов mij
M=[mij], где mij=
Определение нормы матрицы А: -число удовлетворяющее свойствам.
1) ≥0, =0≡0
2) число
3)
4)
Способы задания нормы матрицы:
1) =
2) =
3) =
Достаточное условие сходимости метода итераций:
Если , i=1,n , на Сч и Сч, то процесс итераций сходится независимо от выбора начального приближения.
МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ
Пусть дана система вида (5.1), преобразуем ее к виду (5.8). Как и в методе итераций строим последовательность приближений к неподвижной точке.
ускорение сходимости за счет подстановки предыдущего приближения.
Достаточное условие совпадает с достаточными условиями сходимости метода итераций.
Условие окончания получения приближений совпадает с (5.7).
ЛЕКЦИЯ № 6, 7
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ
Общая постановка задачи. Пусть ¦(c) – некоторая функция, которая может быть известно, частично известной и неизвестной. Эту функцию необходимо заменить некоторой «хорошей» функцией j(c), которая будет достаточно близкой ¦(c).
Постановка задачи интерполяции. Для того чтобы конкретизировать постановку задачи приближения функции необходимо ответить на следующие вопросы:
1. что известно о ¦(c) (способ задания, степень гладкости);
2. к какому классу, семейству функций должна принадлежать j(c);
3. что понимаем под близостью j(c) и ¦(c) каков критерий согласия;
Часто приближение функции называют аппроксимацией
Постановка задачи интерполяции.
Пусть ¦(c) задана на некотором разбиении отрезка [a;b] точками хi , i=0,n , где a = х0<х1<…<xn= b
интерполяция – вычисление ¦(c) в точке Î[a;b], x ¹ xi, i = 0,n
экстраполяция – вычисление функции ¦(c) в точке ХÎ[a;b];
Определение интерполяции ввел в 1656 году Джон Уолесс, а в 1655 году ввел символ ¥.
Для полиномиальной интерполяции j(c) имеет вид j(c)=а0+а1х+а2х2+…+аnxn.
Для того, чтобы считать j(c) к ¦(c) вводится ограничение j(ci)= ¦(ci), i=0,n ;
Т.е значения этих функций в точке хi должны совпадать. ............
