МЕТОД ГАУССА С ВЫБОРОМ ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА.
     1. Основная идея метода. Может оказаться, что система
    Ax=f (1) имеет единственное решение, хотя какой-либо из угловых миноров матрицы А равен нулю. В этом случае обычный метод Гаусса оказывается непригодным, но может быть применен метод Гаусса с выбором главного элемента.
    Основная идея метода состоит в том, чтобы на очередном шаге исключать не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный, т.е. наибольший по модулю элемент. Тем самым, если , то в процессе вычислений не будет происходить деление на нуль.
    Различные варианты метода Гаусса с выбором главного элемента проиллюстрируем на примере системы из двух уравнений
    (2)
     Предположим, что . Тогда на первом шаге будем исключать переменное . Такой прием эквивалентен тому, что система (2) переписывается в виде
    (3)
     и к (3) применяется первый шаг обычного метода Гаусса. Указанный способ исключения называется методом Гаусса с выбором главного элемента по строке. Он эквивалентен применению обычного метода Гаусса к системе, в которой на каждом шаге исключения проводится соответствующая перенумерация переменных.
    Применяется также метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Предположим, что . Перепишем систему (2) в виде
    
    
     и к новой системе применим на первом шаге обычный метод Гаусса. Таким образом, метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу эквивалентен применению обычного метода Гаусса к системе, в которой на каждом шаге исключения проводится соответствующая перенумерация уравнений.
    Иногда применяется и метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице, когда в качестве ведущего выбирается максимальный по модулю элемент среди всех элементов матрицы системы.
    2. Матрицы перестановок. Ранее было показано, что обычный метод Гаусса можно записать в виде
     где -элементарные нижние треугольные матрицы. Чтобы получить аналогичную запись метода Гаусса с выбором главного элемента, необходимо рассмотреть матрицы перестановок.
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Матрицей перестановок Р называется квадратная матрица, у которой в каждой строке и в каждом столбце только один элемент отличен от нуля и равен единице.
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Элементарной матрицей перестановок называется матрица, полученная из единичной матрицы перестановкой к-й и l-й строк.
    Например, элементарными матрицами перестановок третьего порядка являются матрицы
    
    Можно отметить следующие свойства элементарных матриц перестановок, вытекающие непосредственно из их определения .
    1) Произведение двух (а следовательно, и любого числа) элементарных матриц перестановок является матрицей перестановок (не обязательно элементарной).
    2) Для любой квадратной матрицы А матрица отличается от А перестановкой к-й и l-e no?ie.
    3) Для любой квадратной матрицы А матрица отличается от А перестановкой к-го и l-го столбцов.
    Применение элементарных матриц перестановок для описания метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцу можно пояснить на следующем примере системы третьего порядка:
    (4) Система имеет вид (1), где
    (5) Максимальный элемент первого столбца матрицы А находится во второй строке. ............