Деление произвольно заданного угла на 3 равновеликие части. Трисекция угла

Россия. г. Пенза

Е. И. Терёшкин.

Возьмем прямой угол BAD (чертеж1) достроим его да квадрата ABCD, примем сторону квадрата за 1. Продолжим стороны BC и DC до величины равной . Поставим точки M и N. Соединим точки M и N с точкой A и наш прямой угол BAD разделен на 3 равновеликие части т.е.

Чертеж 1.

Чертеж 2.

Но чтобы делить другие углы надо найти некоторую закономерность. Из точки C радиусом CM опишем окружность.

.

.

.

.

.

По теореме Пифагора находим . Из точки  радиусом опишем окружность. Из точки  через точку  проводим линию до пересечения с большой дугой и ставим точку . , .

.

 - диаметры большого круга. Проводим линию , она пересекает малый круг в точке . Из точки , через точку  проводим линию до пересечения с большой дугой, ставим точку . Соединяем точки  и .

.

.

Рассмотрим треугольник  чертеж 2. . По теореме косинусов . Проведем линию  до пересечения с .

По теореме Пифагора  Из точки  проводим линию .  подобен , значит

Рассмотрим , т.к. этот угол вписанный и опирается на диаметр, а  в этом треугольнике будет средняя линия, а значит  По теореме косинусов , значит  но , значит линия  проходит через точку , т.е. через центр квадрата.

Далее чертим две пересекающиеся прямые, чтобы верхний и нижний вертикальные углы были тупыми (чертеж 3) и острыми (чертеж 4). В местах пересечения ставим точки . Из точек  любым радиусом описываем окружность.

Чертеж 3.                                        Чертеж 4.

Там где стороны верхнего тупого угла (чертеж 3) и острого ( чертеж 4) пересекаются с дугой окружности ставим точки M и N. Проводим биссектрисы обоих тупых углов ( чертеж 3) и острых углов ( чертеж 4). Там где биссектрисы пересекаются с окружностями ставим точки  и . Из точек  радиусом  описываем окружности. Там где биссектрисы пересекаются с нижней точкой окружности ставим точки F. Соединяем точки N с точками F. В местах пересечений линий NF с малой окружностью ставим точки Е. Из точек  через точки Е проводим линии до пересечения с большой дугой и ставим точки . Соединяем точки М с точками . В местах пересечений линий М и F ставим точки О. От точек О в сторону точек F по биссектрисам откладываем расстояние СО. Получаем точки А. Из точек А // МС проводим линии до пересечения с продолжениями линий CN и ставим точки В. Из точек А // ВС проводим линии до пересечения с продолжениями линий МС и ставим точки D. Соединяем точки М с точками А и точки N с точками А. Если требуется разделить начальные углы MCN на три равновеликие части, то из точек С направляя вверх проводим линии параллельные AM и AN.

Теперь в местах пересечения АМ и ВС ставим точки Р, а в местах пересечения AN и СD ставим точки Q. Соединяем точки М с точками N. В местах пересечения хорды MN с биссектрисой А ставим точку . Треугольники АМ и АN равны по двум катетам. Треугольники АРС и АСQ равны, т.к.  а АС – общая. Следовательно в обоих чертежах РС=СQ, а ВР=QD и АР=АQ. Далее вынесем оба наших ромба АВСD в отдельные чертежи.

Чертеж 5.

На чертеж 5 (а, б) вынесены ромбы АВСD с тупыми и острыми углами как и на чертежах 3 и 4. Только вместо букв Р и Q применим буквы М и N. Из доказанного ранее известно, что это ромбы, т.е. АВ=ВС=СD=АD, ВМ=ND, и АМ=АN.

Из точек А, радиусом АВ проводим дуги ВD, Из точек М, радиусом ВМ проводим дуги ВF до пересечения с дугами ВD. ............