ВІННИЦЬКИЙ ФІНАНСОВО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра економічної кібернетики
ЗВІТ
з навчальної практики на тему:
«Диференціальні рівняння вищих порядків»
Вінниця 2009
Зміст
Вступ
Диференціальне рівняння вищого порядку
Геометричне тлумачення задачі Коші
Зниження порядку диференціальних рівнянь другого порядку
Диференціальні рівняння є однорідними відносно функції у та її похідних і
Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
Питання для перевірки
Тестові завдання
Задачі
Відповіді на тестові завдання
Розв’язок до задач
Охорона праці
Висновки
Література
Вступ
Для успішної участі у сучасному суспільному житті особистість повинна володіти певними прийомами математичної діяльності та навичками їх застосувань до розв’язання практичних задач. Певної математичної підготовки і готовності її застосовувати вимагає і вивчення багатьох навчальних предметів. Значні вимоги до володіння математикою у розв’язанні практичних задач ставлять сучасний ринок праці, отримання якісної професійної освіти, продовження освіти на наступних етапах. Тому одним з головних завдань цього тренінгу є забезпечення умов для досягнення кожним студентом практичної компетентності.
Прикладна спрямованість математичної освіти суттєво підвищується завдяки впровадженню комп’ютерів у навчання математики, повноцінному введенню ймовірносно-статистичної змістової лінії.
Мета: придбання знань, вмiнь та навичок, необхiдних для розв’язання та обчислення диференціальних рівнянь вищих порядків.
Завдання:
§ вивчення класичних і сучасних наближених методів розв’язання диференціальних рівнянь та їх систем;
§ придбання умінь використання методів розв’язання задач з початковими умовами та крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь та диференціальних рівнянь з частинними похідними при моделюванні систем.
Студент повинен знати:
§ класифікацію наближених методів розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем;
§ методи розв’язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь та їх систем;
§ методи чисельного інтегрування і диференціювання.
Студент повинен вміти: самостійно вибирати і обґрунтовувати раціональний метод розв’язування поставленої задачі.
Диференціальне рівняння вищого порядку
Диференційні рівняння вищого порядку стосовно функції у(х) має вигляд:
(1)
яке називають диференційованим рівнянням першого порядку, якщо рівняння (1) подано у вигляді:
(2)
та його називають диференційованим рівнянням першого порядку, яке є розв’язком відносно найстаршої похідної, або явним диференціальним рівнянням, або нормальним диференційованим рівнянням першого порядку.
Оскільки теоретичні поняття і методи інтегрування диференціальних рівнянь вищого порядку є споріднені для рівнянь різних порядків, то надалі ми обмежемось розглядом диференціальних рівнянь другого порядку:
(3)
(4).
Функція називається розв’язком диференціального рівняння (3)чи (4) проміжну (a,b), якщо вона двічі не перервно диференційованa на цьому проміжку і будучи підставлена у рівняння, перетворює його у тотожність, тобто
x є (a,b)
або
Графік функції називається при цьому інтегральною кривою диференціального рівняння (3) чи (4).
Зрозуміло, що інтегральна крива повинна міститися в області визначення функції F.
Наприклад, розв’язком диференційованого рівняння є функція на проміжку , бо ця функція є двічі диференційована на цьому проміжутку і Крім того, функція де C1,C2- довільні сталі, є також розв’язком цього рівняння.
Аналогічно переконаємось, що функція і є розвязками диференціального рівняння на проміжку , бо вони двічі диференційовані на цьому проміжку
Розвязком цього рівняння є також функції де - довільні сталі.
Далі будемо розглядпти основні поняття та означення для диференціального рівняння (4).
Функція де і довільні сталі називається загальним розв’язком диференційованого рівняння другого порядку, якщо вона є розв’язком цього рівняння для розв’язком функції і і з якої за рахунок вибору значень цих сталих можна отримати будь-який розв’язок цього рівняння (за винятком може окремих). ............
