Содержание
1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного
2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение
3. Интегральное исчисление функции одного переменного
1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного
1. Вычислить предел: .
Решение.
При имеем
Следовательно,
2. Найти асимптоты функции: .
Решение.
Очевидно, что функция не определена при .
Отсюда получаем, что
Следовательно, – вертикальная асимптота.
Теперь найдем наклонные асимптоты.
Следовательно, – наклонная асимптота при .
3. Определить глобальные экстремумы: при .
Решение.
Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим .
.
А затем находим критические точки.
Теперь найдем значение функции на концах отрезка.
.
Сравниваем значения и получаем:
4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции: .
Решение.
Сначала находим .
.
Затем находим критические точки.
x
–3
0
– 0 + 0 +
убывает min возрастает возрастает возрастает
Отсюда следует, что функция
возрастает при ,
убывает при .
Точка – локальный минимум.
5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции: .
Решение
Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.
.
.
.
x
–2
1
– 0 – 0 +
вогнутая перегиб выпуклая перегиб вогнутая
Отсюда следует, что функция
выпуклая при ,
вогнутая при .
Точки , – точки перегиба.
2. Дифференциальное исчисление функций и его приложение»
1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции .
Решение.
1) Область определения функции
.
2) Функция не является четной или нечетной, так как
.
3) Теперь найдем точки пересечения с осями:
а) с оx: , б) с oy .
4) Теперь найдем асимптоты.
а)
А значит, является вертикальной асимптотой.
б) Теперь найдем наклонные асимптоты
Отсюда следует, что
является наклонной асимптотой при .
5) Теперь найдем критические точки
не существует при .
6)
не существует при
x
0
2
4
+ 0 – Не сущ. – 0 +
– – – Не сущ. + + + y
возрастает
выпуклая
max
убывает
выпуклая
не сущ.
убывает
вогнутая
min
возрастает
вогнутая
Построим эскиз графика функции
2. Найти локальные экстремумы функции .
Решение.
Сначала найдем частные производные
Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.
То есть мы получили одну критическую точку: . ............
