Дискретные сигналы А. Т. Бизин Сибирская Государственная Академия телекоммуникаций и информатики Новосибирск 1998 г. Дискретизация непрерывных сигналов
    Обработка сигналов на цифровых ЭВМ начинается с замены непрерывного сигнала X(t) на дискретную последовательность, для которой применяются такие обозначения
    x(nT) , x(n) , xn , {x0 ; x1 ; x2 ; ... } .
    Дискретизация осуществляется электронным ключом (ЭК) через равные интервалы времени T (Рис. 1.1).
    
    Дискретная последовательность аппроксимирует исходный сигнал X(t) в виде решетчатой функции X(nT). Частота переключения электронного ключа fд и шаг дискретизации T связаны формулой
    fд = 1 / T . (1.1)
    Дискретная последовательность или дискретный сигнал выражается через исходный непрерывный (аналоговый) сигнал следующим образом
    x(nT) = x(t)(t - nT) , (1.2)
    где (t) - дискретная - функция (Рис. 1.2, а),
    (t - nT) - последовательность - функций (Рис. 1.2, б).
    
    Погрешность, возникающую при замене аналогового сигнала дискретным сигналом, удобно оценить сравнивая спектры этих сигналов. Связь спектров дискретного и непрерывного сигналов.
    Исходное выражение для спектра дискретного сигнала с учетом (1.2) запишется следующим образом
    X(j) =x(nT) e-jt dt =x(t)(t - nT) e-jt dt .
    Периодическую последовательность - функций здесь можно разложить в ряд Фурье
    (t - nT) =,
    где с учетом формулы связи спектров периодического и непериодического сигналов
    , поскольку F(j) = 1
    После замены в исходном выражении периодической последовательности - функций ее разложением в ряд Фурье получим
    X(j) =x(t)() e-jt dt =x(t)e-jt dt .
    Учитывая здесь теорему смещения спектров, т.е. :
    если f(t) F(j), то f(t) F[j( 0)] ,
    последнее равенство можно представить в виде формулы, выражающей связь спектров дискретного X(j) и аналогового Xa(j) сигналов
    X(j) =Xa[j( -)] . (1.3)
    На основании формулы (1.3) с учетом поясняющих рисунков 1.3, а, б можно сделать следующие выводы :
    
    Спектр дискретного сигнала состоит из суммы спектров исходного непрерывного сигнала, сдвинутых друг относительно друга по оси частот на величину равную частоте дискретизации д
    Спектры аналогового и дискретного сигналов совпадают в диапазоне частот [-0,5д ; 0,5д], если удовлетворяется неравенство
    в 0,5д , (1.4)
    где в - верхняя частота спектра аналогового сигнала.
    Равенство в (1.4) соответствует утверждению теоремы Котельникова о минимальной частоте д.
    Смежные спектры Xa(j) в (1.3) частично перекрываются, если условие (1.4) не выполняется (Рис 1.3, б). В этом случае спектр дискретного сигнала искажается по отношению к спектру аналогового сигнала. Эти искажения являются неустранимыми и называются ошибками наложения.
    Аналоговый сигнал можно восстановить полностью по дискретному сигналу с помощью ФНЧ, частота среза которого с = 0,5д. Это утверждение основано но совпадении спектров дискретного сигнала на выходе ФНЧ и непрерывного сигнала. Сигнал восстанавливается без искажений, если выполняется условие (1.4). ............