Дисперсійний аналіз та побудова статистичних графіків

 

Дисперсійний аналіз

Характеристики варіації

В одних сукупностях індивідуальні значення ознаки щільно групуються навколо центра розподілу, в інших — значно відхиляються. Чим менші відхилення, тим однорідніша сукупність, а отже, тим більш надійні й типові характеристики центра розподілу, передусім середня величина. Вимірювання ступеня коливання ознаки, її варіації — невід'ємна складова аналізу закономірностей розподілу. Міри варіації широко використовуються у практичній діяльності: для оцінювання диференціації домашніх господарств за рівнем доходу, фінансового ризику інвестування, ритмічності роботи підприємств, сталості врожайності сільськогосподарських культур тощо.

На основі характеристик варіації оцінюється інтенсивність структурних зрушень, щільність взаємозв'язків соціально-економічних явищ, точність результатів вибіркового обстеження.

Для вимірювання та оцінювання варіації використовуються абсолютні та відносні характеристики. До абсолютних належать: варіаційний розмах, середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення, дисперсії; відносні характеристики подаються низкою коефіцієнтів варіації, локалізації, концентрації.

Узагальнюючою характеристикою варіації є середнє відхилення:

а) лінійне

,

б) квадратичне, або стандартне

;

в) дисперсія (середній квадрат відхилень)

.

 

Види та взаємозв'язок дисперсій

Дисперсія посідає особливе місце у статистичному аналізі соціально-економічних явищ. На відміну від інших характеристик варіації завдяки своїм математичним властивостям вона є невіддільним і важливим елементом інших статистичних методів, зокрема дисперсійного аналізу.

Для ознак метричної шкали дисперсія — це середній квадра відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої:

.

Як і будь-яка середня, дисперсія має певні математичні властивості. Сформулюємо найважливіші з них.

1. Якщо всі значення варіант xj зменшити на сталу величину А, то дисперсія не зміниться:

.

2. Якщо всі значення варіант xj змінити в А раз, то дисперсія зміниться в А2 раз:

.

3. Якщо частоти замінити частками, дисперсія не зміниться. Нескладними алгебраїчними перетвореннями можна довести,

що дисперсія — це різниця квадратів . Якщо

,

то, замінивши  і поділивши всі складові на п, дістанемо:

,

де  – квадрат середньої величини;  – середній квадрат значень ознаки.

Дисперсія альтернативної ознаки обчислюється як добуток часток: , де d1 — частка елементів сукупності, яким властива ознака, d0 — частка решти елементів   . Застосуємо основну формулу дисперсії до цих характеристик структури:

.

Якщо, скажімо, у збиральному цеху частка висококваліфікованих робітників становить d1= 0,2, то дисперсія частки

σ2=0,2 (1-0,2)=0,16.

Дисперсія альтернативної ознаки широко використовується при проектуванні вибіркових обстежень, обробці даних соціологічних опитувань, статистичному контролі якості продукції тощо. За відсутності первинних даних про розподіл сукупності припускають, що d1=d0=0,5 і використовують максимальне значення

дисперсії σ2 =0,5·0,5=0,25.

Якщо сукупність розбито на групи за певною ознакою х, то для будь-якої іншої ознаки у можна обчислити дисперсію як у цілому по сукупності, так і в кожній групі. ............