Файл: FERMA-2mPF-for

© Н. М. Козий, 2007

Авторские права защищены свидетельствами Украины

№ 27312 и № 28607

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ

 

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение(http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

 

Аn+ Вn = Сn                                              /1/

где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.

Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:

 

Аn = Сn -Вn          /2/

Пусть показатель степени n=2m. Тогда уравнение /2/ запишется следующим образом:

 

А2m = С2m –В2m /3/

Для доказательства великой теоремы Ферма используем алгебраическое доказательство теоремы Пифагора.

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА (Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах)

 

Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

 

С2     =А2 + В2,             /4/

где: С – гипотенуза; А и В – катеты.

Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми.

Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых их стороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /4/ имеет бесконечное количество решений в целых числах.

Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /4/ запишем следующим образом:

 

А2 = С2 –В2                   /5/

Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.

Уравнение /5/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С. Уравнение /5/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:

 

А2=(C-B)∙(C+B)                              /6/

Используя метод замены переменных, обозначим:

 

C-B=M                                            /7/

Из уравнения /7/ имеем:

 

C=B+M                                 /8/

Из уравнений /6/, /7/ и /8/ имеем:

 

А2 =M∙ (B+M+B)=M∙(2B+M) = 2BM+M2        /9/

Из уравнения /9/ имеем:

 

А2- M2=2BM                                   /10/

Отсюда: B =                   /11/

Из уравнений /8/ и /11/ имеем:

C=  /12/

Таким образом: B = /13/

C  /14/

Из уравнений /11/ и /12/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A2 на число M , т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа А или A2.

Числа А и M должны иметь одинаковую четность.

По формулам /13/ и /14/ определяются числа B и C как переменные, зависящие от значения числа А как параметра и значения числа M.

Из изложенного следует: 1. ............