Курсова робота

Дослідження локальних формацій із заданими властивостями

Введення

Формації, тобто класи груп, замкнуті відносно фактор - груп і під прямих добутків, завжди перебували в поле діяльності дослідників по теорії кінцевих груп. Однак аж до 1963 р. формаційний розвиток теорії кінцевих груп ішло лише по шляху нагромадження фактів, що ставляться до різних конкретних формацій, з яких найбільш популярними були формація розв'язних груп і її подформації, складені з абелевих, нильпотентних груп.

У курсовій роботі розглядається добуток формацій, операції на класах груп, що приводять до формацій. Розглядаються локальні формації й екрани. Розглядаються найпростіші властивості локальної формації всіх груп з нильпотентним компонентом.

Визначення 1.1 Класом груп називають усяка множина груп, що містить разом з кожною своєю групою  й всі групи, ізоморфні .

Якщо група (підгрупа) належать класу , то вона називається групою (  -  підгрупою).

Визначення 1.2. Клас груп  називається формацією, якщо виконуються наступні умови:

1) кожна фактор - група будь - якої групи з  також належить ;

2) із  завжди треба .

Якщо формації  й  такі, що , то  називається підформацією формації .

По визначенню, порожня множина є формацією (порожня формація). Множина  всіх груп є, звичайно, формацією. Одинична формація  – це непустий клас груп, що складає лише з одиничних груп. Формаціями є: клас  усіх  -  груп, клас  всіх абелевих груп, клас  всіх нильпотентних груп, клас  усіх  -  груп ( – фіксоване простої число), клас  всіх нильпотентних  -  груп, клас  всіх розв'язних груп, клас  всіх розв'язних  - груп. Ми привели поки лише приклади тих формацій, за яких закріплені відповідні позначення.

Лема 1.1. Справедливі наступні твердження:

1) перетинання будь - якої множини формацій також є формацією;

2) якщо  – деяка множина формацій, лінійно впорядковане щодо включення , то об'єднання  є формацією.

Доказ здійснюється перевіркою.

Визначення 1.3. Нехай  – непуста формація. Позначимо через  і  -  корадикалом групи  перетинання всіх тих нормальних підгруп  з , для яких .

Очевидно,  - корадикал будь - якої групи є характеристичною підгрупою.  - корадикал групи  позначають інакше через  і називають  - корадикалом.  - корадикал будемо називати нильпотентним радикалом; зрозумілі також терміни розв'язний корадикал,  -  розв'язний корадикал,  -  корадикал і т.д.  - корадикал (або абелев корадикал) – це комутант групи. Так само як і комутант,  -  корадикал зберігається при гомоморфізмах.

Лема 1.2. Нехай  – непуста формація, . Тоді справедливі наступні твердження:

1)

2) якщо  те

3) якщо  й , те

Доказ. Нехай . Тоді

Звідси треба, що . З іншого боку,

звідки одержуємо . З  і  треба рівність . Твердження 1) доведено.

Нехай  – природний гомоморфізм групи  на  Очевидно,

звідки треба рівність . Зокрема, якщо , те . Лема доведена.

Визначення 1.4. Нехай  і  – деякі формації. Якщо , то покладемо  Якщо , те позначимо через  клас всіх тих груп , для яких  Клас  називається добутком формацій  і .

З визначення 1.4 треба, що добуток формацій  є порожньою формацією тоді й тільки тоді, коли принаймні одна з формацій  є порожньою. Можна визначити добуток декількох формацій як результат послідовного множення. ............