Міністерство освіти і науки України

Сумський державний університет

Кафедра інформатики

Курсова робота

на тему:

«Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток»

Суми 2006

Вступ

Актуальність теми. Задачі, що відносяться до диференціальних рівнянь у частинних похідних другого порядку, виникають у різних прикладних областях, зокрема в задачах акустики, електродинаміки, динамічної теорії пружності тощо. Найчастіше при їх розв’язуванні використовують метод скінчених різниць(метод сіток). За цим методом вихідну диференціальну задачу у частинних похідних замінюють відповідною різницевою схемою, що є системою скінченої кількості алгебраїчних рівнянь. Тобто для розв’язування неперервної задачі будують дискретну модель, характер поведінки якої описують різницеві рівняння. Очевидно, будь-яка дискретна модель не тотожна вихідній неперервній задачі.

Особливістю наближених методів є те, що кожному рівнянню можна поставити у відповідність велику кількість різницевих апроксимацій, що мають майже однакові характеристики. Тому побудова різницевих схем, властивості яких якнайповніше відповідають вихідній диференціальній задачі, — суть і предмет методу скінчених різниць, а розвиток теорії різницевих схем природно шукають у покращенні порядку апроксимації, а також у зменшенні кількості арифметичних операцій для знаходження розв’язків. Іншими словами, різницева схема повинна якомога краще моделювати властивості вихідного диференціального рівняння, до того ж кількість арифметичних дій, потрібних для знаходження розв’язку, має бути по можливості пропорційна кількості вузлів сітки.

Побудова різницевих схем для рівнянь у частинних похідних з узагальненими розв’язками, швидкість збіжності яких узгоджена з гладкістю цих розв’язків, привертає сьогодні особливу теоретичну увагу. Як зазначається або приймається за очевидне у кожній роботі з чисельних методів, основним питанням для теорії та практики наближених методів є питання точності розв’язку. Дослідження задач з негладкими розв’язками для рівнянь гіперболічного типу потребують особливої уваги через те, що негладкості середовища для таких рівнянь не зникають з часом. Проблема узагальнюється таким чином: як покращити точність наближеного методу, не збільшуючи при цьому паразитичних осциляцій, які з’являються при переході на кожний наступний ярус. Це явище виникає, коли розв’язок негладкий, має розриви та особливі точки (наявні сконцентровані зовнішні сили, точкові джерела тощо). Причина таких осциляцій — дисперсія різницевої схеми по відношенню до диференціальної задачі, тобто відмінність (відставання або випередження) фазової швидкості сіткових гармонік від гармонік диференціальних. Звідси ясно, якою важливою є побудова таких схем для розв’язування гіперболічних рівнянь, де враховані дисперсійні властивості неперервної моделі і, можливо, до мінімуму зведений спотворюючий вплив цих властивостей.

Стан проблеми. Огляд літератури. Проблема існування дисперсії розглядалася багатьма авторами. Першими роботами, у яких було відмічено зв’язок між дисперсією різницевих схем та втратою точності розв’язків рівнянь гіперболічного типу, були роботи К. ............