Национальный Технический Университет Украины "Киевский Политехнический Институт" Реферат По курсу: Квантовая Механика На тему: " Движение в центрально - симметричном поле " Выполнил студент группы ДС-71 Садрицкий Роман. Киев-1999г. Содержание: 1. Движение в центрально-симметричном поле. 2. Падение частицы на центр. 3. Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ). 1.Движение в центрально-симметричном поле. Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой механике может быть сведена к задаче об одной частице, - аналогично тому, как это может быть сделано в классической механике. Гамильтониан двух частиц ( с массами ) , взаимодействующих по закону -расстояние между частицами), имеет вид
    (1,1) где - операторы Лапласа по координатам частиц. Введем вместо радиусов-векторов частиц и новые переменные и :
    (1,2) - вектор взаимного расстояния, а - радиус-вектор центра инерции частиц. Простое вычисление приводит к результату:
    (1,3) ( и - операторы Лапласа соответственно по компонентам векторов и ; - полная масса системы; - приведенная масса). Таким образом, гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей. Соответственно этому, можно искать в виде произведения , где функция описывает движение центра инерции ( как свободное движение частицы с массой ), а описывает относительное движение частиц ( как движение частицы массы в центрально-симметричном поле ).
    Уравнение Шредингера для движения частицы в центрально-симметричном поле имеет вид
    (1,4) Воспользовавшись известным выражением для оператора Лапласа в сферических координатах, напишем это уравнение в виде
    .
    (1,5) Если ввести сюда оператор квадрата момента:
    , то мы получим
    (1,6)
    При движении в центрально-симметричном поле момент импульса сохраняется. Будем рассматривать стационарные состояния с определенными значениями момента и его проекции . Заданием значений и определяется угловая зависимость волновых функций. Соответственно этому, ищем решения уравнения (1,6) в виде
    (1,7) где - сферические функции. Поскольку , то для "радиальной функции" получаем уравнение
    
    (1,8) Это уравнение не содержит вовсе значения , что соответствует -кратному вырождению уровней по направлениям момента.
    Займемся исследованием радиальной части волновых функций. Подстановкой
    (1,9) уравнение (1,8) приводится к виду
    (1,10) Если потенциальная энергия везде конечна, то должна быть конечной во всем пространстве, включая начало координат, также и волновая функция , а следовательно, и ее радиальная часть . Отсюда следует, что должна обращаться в нуль при :
    (1,11) В действительности это условие сохраняется также и для поля, обращающегося при в бесконечность.
    Уравнение (1,10) по форме совпадает с уравнением Шредингера для одномерного движения в поле с потенциальной энергией
    (1,12) равной сумме энергии , и члена
    , который можно назвать центробежной энергией. Таким образом, задача о движении в центрально-симметричном поле сводится к задаче об одномерном движении в области, ограниченной с одной стороны ( граничное условие при ). ............