1. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платежной матрицей
Имеет ли игра седловую точку?
Решение:
Найдем по каждой строчке платежной матрицы минимальное число αi = min (αi1, αi2, αi3) – это гарантированный выигрыш игрока А, при выборе им соответствующей стратегии. Чтобы получить максимально возможный гарантированный выигрыш, игрок А должен выбрать ту стратегию, для которой αij имеет максимальное значение – α = max(α1, α2, α3) – это нижняя цена игры.
Для игрока В выберем по каждому столбцу максимальное число βj = max(α1j, α2j, α3j) – это гарантированный проигрыш игрока В при выборе им стратегии Вj. Найдем минимальное из этих чисел β = min (β 1, β 2, β 3) – это верхняя цена игры. Занесем полученные данные в таблицу 1.
Нижняя цена игры α = 8 равна верхней цене игры β = 8. Значит, игра имеет седловую точку. Для игрока А оптимальная стратегия – А1, для игрока В оптимальная стратегия – В1.
Ответ: α = β = 8, игра имеет седловую точку, оптимальные стратегии (А1, В1).
Таблица 1 – Определение цены игры платежной матрицы
В1
В2
В3
А1
8 9 9
α1 = min (8, 9, 9) = 8
А2
6 5 8
α2 = min (6, 5, 8) = 5
А3
3 4 5
α3 = min (3, 4, 5) = 3
β1 = max(8, 6, 3)
β1= 8
β2 = max(9, 5, 4)
β2= 9
β3 = max(9, 8, 5)
β3= 9
α = max(8, 5, 3) = 8
β = min (8, 9, 9) = 8
2. Решить графически игру, заданную платежной матрицей
Решение:
Дана игра 4 х 2 , то есть у игрока А имеется 4 стратегии, а у игрока В – 2. Поэтому, будем решать игру для игрока В. Построим оси: ОХ – на ней будем отмечать вероятности, с которыми игрок использует ту или иную стратегии, и ОУ – на ней будем откладывать цену игры. На расстоянии единица от оси ОУ проведем еще ось параллельную ей, как показано на рисунке 1.
Если игрок А выбирает стратегию А1, то игрок В, используя свои стратегии с вероятностями (q1, q2), будет проигрывать, в среднем, q1∙α11+q2∙α12 = q1∙(-3) +q2∙(-4). Отметим на оси ОУ α11 = -3, а на оси ей параллельной α12 = -4 и соединим эти точки прямой линией – она показывает, сколько, в среднем, получает игрок В, если А использует стратегию А1, а В чередует стратегии В1 и В2 с некоторыми вероятностями (q1, q2). Аналогично отмечаем на оси ОУ точку -1, а на параллельной ей оси – точку 2 и соединяем отрезком. Получаем линию, показывающую, сколько, в среднем, получает игрок В, если А выбрал стратегию А2. Точно также для А3 и А4.
Для игрока В надо выбрать верхнюю границу, так как он должен рассчитывать, что А выберет ту стратегию, которая соответствует наибольшему проигрышу для игрока В. На рисунке 1 это ломанная А3КА2, выделенная толстой линией. Игроку В следует выбрать ту смешанную стратегию, которая соответствует наименьшему проигрышу для В – точка К. Это точка пересечения прямых, соответствующих стратегиям А3 и А2. Выпишем уравнения этих прямых.
Прямая (А3 А3) проходит через точки с координатами (0;2) и (1;-4). Уравнение этой прямой запишется в следующем виде:
Уравнение прямой (А2 А2), проходящей через точки (0;-1) и (1;2), запишется в следующем виде:
Рисунок 1 –Графическое решение
Точка К – точка пересечения этих прямых, имеет координаты, удовлетворяющие системе:
Решение системы:
Следовательно, цена игры ν = 0, оптимальная стратегия для игрока В:
Для игрока А, стратегии А1 и А4 будут не активными, игроку А не выгодно их использовать. Максимально возможный выигрыш, равный цене игры ν = 0, игрок А будет получать, используя стратегии А2 и А3. ............
