Министерство общего и высшего образования Российской Федерации Иркутский Государственный Технический Университет Кафедра ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Реферат На тему: "Экстремумы функций многих переменных" Выполнил: Студент группы ТЭ-97-1 Мартынов Ф.О. Проверила: Преподаватель кафедры Седых Е.И. Иркутск 1998 План реферата: 1. Понятие экстремума........................... 2 2. Необходимые условия экстремума.. 3 3. Достаточные условия экстремума... 6 4. Локальные экстремумы.................... 8 5. Условные экстремумы...................... 9 Экстремумы функций многих переменных.
    
    Для начала рассмотрим необходимые условия экстремума функции, также определим понятие экстремума. Начнем с понятия экстремума:
    Положим, что имеется некоторая функция с двумя переменными Определение: Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума) функции , если есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки . При этом значение называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция имеет в точке экстремум (или достигает в точке экстремума). Заметим, что в силу определения точка экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку. Вид поверхностей, изображающих поверхности функций в окрестности точек экстремума показан на рис. 1. Теперь установим необходимые условия, при которых функция достигает в точке экстремума; для начала будем рассматривать только дифференцируемые функции. Необходимый признак экстремума: Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: , . Доказательство: Допустим, что функция имеет в точке экстремум. Согласно определению экстремума функция при постоянном , как функция одного достигает экстремума при . Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции при , т. е. . Аналогично функция при постоянном , как функция одного , достигает экстремума при . Значит, Что и требовалось доказать. Точка , координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции , называется стационарной точкой функции.
    Уравнение касательной плоскости к поверхности :
     для стационарной точки принимает вид . Следовательно, необходимое условие достижения дифференцируемой функцией экстремума в точке геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности - графику функции в соответствующей ее точке параллельна плоскости независимых переменных. Для отыскания стационарных точек функции нужно приравнять нулю обе ее частные производные , . (*) и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными. Пример 1: Найдем стационарные точки функции Система уравнений (*) имеет вид: Из второго уравнения следует, что или , или . Подставляя по очереди эти значения в первое уравнение, найдем четыре стационарные точки:
    Какие из найденных точек действительно являются точками экстремума, мы установим после приведения достаточного условия экстремума.
    Иногда удается, и, не прибегая к достаточным условиям, выяснить характер стационарной точки функции. ............