Министерство Топлива и Энергетики Украины
СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Практическое занятие №4
по дисциплине
«Использование ЭВМ в инженерных расчетах электротехнических систем»
Тема : ЭВМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MathCad В СРЕДЕ WINDOWS 98 ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Вариант №8
Выполнил: студент группы ЭСЭ 22-В
Левицкий П.В.
Проверил:_______________________
Севастополь 2008
ПЛАН
1. Данные варианта задания.
2. Решение системы дифференциальных уравнений, заданной в нормальной форме Коши
2.1 Теоретическое обоснование
2.2 Теоретическое обоснование применения преобразования Лапласа
2.3 Общее решение однородной системы
2.3.1 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием переходной матрицы.
2.3.2 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием функции Mathcad
2.3.3 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием преобразования Лапласа
2.4Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений
при заданном внешнем воздействии и нулевых начальных условиях
2.4.1 Решение с применением функций MATHCAD
2.4.2 Решение с применением преобразования Лапласа
2.5Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений
при заданном внешнем воздействии y=cos(2t) и нулевых начальных условиях
2.5.1 Решение с помощью переходной матрицы
2.5.2 Численный метод решения системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях и заданном внешнем воздействии y=cos(2t) c помощью MATHCAD.
2.5.3 Решение системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях и заданном внешнем воздействии y=cos(2t) c помощью преобразования Лапласа
2.6 Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений
при заданном внешнем воздействии и начальных условиях
2.6.1 Решение с помощью функции MATHCAD
2.6.2 Решение с помощью преобразования Лапласа
2.6.3 Решение с помощью преобразования Лапласа (способ второй)
3. Выводы по работе №4.
1. Данные варианта задания
Система линейных дифференциальных уравнений в форме Коши
Таблица № 1
№
вар
Ко э ф ф и ц и е н т ы с и с т е м ы д и ф ф е р н е ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й Начальные условия
а11
а12
а13
а14
а21
а22
а23
а24
а31
а32
а33
а34
а41
а42
а43
а44
b0
b1
b2
b3
х0(0)
х1(0)
х2(0)
х3(0)
8 -2,4 1,4 1,6 -1,8 -2,6 -12 0,6 4,0 -0,8 -0,85 -0,1 0,2 0,4 1,2 1,0 -1,5 0,1 0,2 0 0,6 0 0 -0.8 5.1
Электротехническая система описывается заданной системой линейных дифференциальных уравнений с 4 искомыми функциями х0(t), x1(t),x2(t), x3(t):
Матрицы системы:
2. Решение системы дифференциальных уравнений, заданной в нормальной форме Коши
2.1 Теоретическое обоснование
Можно записать в виде матричного дифференциального уравнения:
или на основании правила дифференцирования матриц:
Совокупность решений системы дифференциальных уравнений будем искать в форме
здесь - общее решение однородной системы дифференциальных уравнений
X(t) - частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений .
Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений
Для определения общего решения системы дифференциальных уравнений необходимо:
· найти собственные значения λi матрицы А, используя выражение:
· найти переходную матрицу:
где Р – матрица, составленная из собственных векторов vi матрицы А, которые определяются из выражения:
Аvi = λi vi i = 1,2..n - одно из произвольных значений вектора-столбца (обычно принимают vi1 = 1)
Тогда причем - диагональная матрица.
Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений будет иметь вид:
Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений ищется:
Общее решение неоднородной системы дифференциальных уравнений тогда будет иметь вид:
В данной работе мы будем определять аналитические зависимости изменения переменных состояния системы численными методами с использованием переходной матрицы, а также с помощью специальных функций MATHCAD.
2.2 Теоретическое обоснование применения преобразования Лапласа
Классический метод решения системы дифференциальных уравнений высокого порядка связан с большими вычислительными затратами, особенно при определении частного решения неоднородной системы ( при вычислении интеграла). В этом случае целесообразно использовать преобразования Лапласа, что существенно упрощает вычисления и дает значительно большую обозримость решения. Можно отметить следующие преимущества метода преобразования Лапласа:
1.Для решения системы дифференциальных уравнений методом преобразования Лапласа необходимо решить только одну-единственную систему алгебраических уравнений, а именно систему, определяющую изображение Xi(s) искомых функций хi(t).
2.Начальные значения входят в эту систему с самого начала и поэтому учитываются автоматически, в то время как при применении классического метода предварительно необходимо найти сначала общие решения (для систем уравнений это весьма сложно) и затем подобрать постоянные интегрирования так, чтобы были удовлетворены начальные условия, что приводит к необходимости решения еще одной системы линейных уравнений. ............
