Филлотаксис и последовательность Фибоначчи В. Березин
    Реальные соцветия подсолнуха два семейства логарифмических спиралей Спирали одного семейства закручиваются к центру против хода часовой стрелки, другого - по ходу. В ботанике такое сочетание двух семейств спиралей называют филлотаксисом (в переводе с греческого слово это означает "устройство листа").
    Оказывается, числа спиралей в соцветиях подсолнечника приближенно равны двум соседним членам так называемой последовательности Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144.
    Филлотаксис подсолнечника - одна из многих неожиданных встреч с последовательностью Фибоначчи. Впервые с ней столкнулся в прошлом столетии французский математик Эдуард Люка. Читая книгу "Искусство абака" знаменитого итальянского математика эпохи Возрождения Леонардо Пизанского, известного больше по прозвищу Фибоначчи, и решая одну из задач Леонардо, Люка составил последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., в которой
    Fn = Fn-1 + Fn-2.
    Неожиданная встреча с этой последовательностью состоится сейчас и у нас. Предположим, что ?2 = 1 - ?.
    Выразим значения степеней ?3, ?4, ?5, ... через 1 = ?0 и ?:
    ?3 = ?·?2 = 2? - 1, ?4 = 2 - 3?, ?5 = 5? - 3, ... Вы узнали в коэффициентах последовательность Фибоначчи, начиная с члена F1? По-видимому, и для любого n можно записать формулу
    ?n = (-1)n (Fn-1 - Fn?),
    где Fn-1 и Fn - члены последовательности Фибоначчи. Докажем это методом математической индукции:
    ?n+1 = ?n·? = (-1)n (Fn-1? - Fn?2) = (-1)n (Fn-1? - Fn(1 - ?)) = = (-1)n (-Fn + (Fn-1 + Fn)?) = (-1)n+1 (Fn - Fn+1?). У уравнения ?2 = 1 - ? два корня - положительный ? = (v5 - 1)/2 и отрицательный ? = -(v5 + 1)/2. Как мы убедились,
    ? (-1)n ?1n = Fn-1 - Fn?1, ? ? (-1)n ?2n = Fn-1 - Fn?2. Решая эту систему относительно Fn, получаем, что
    Fn = 1
    v5 ( 1 + v5
    2 ) n - ( 1 - v5
    2 ) n . И этот результат довольно неожидан - последовательность целочисленная, а общий её член выражается через квадратные радикалы.
    Следующую неожиданность получим, если вычислим
     lim n > ? Fn
    Fn+1 = v5 - 1
    2 . Это знаменитое "золотое сечение" (о нём см., например, "Квант", 1973, №8, с.22 и далее). Прямоугольный предмет с таким отношением сторон наиболее приятен для глаза.
    Существует много формул, связывающих между собой члены последовательности Фибоначчи. Вот некоторые из них:
     n n Fn+2 = 1 + ? Fk, F2n = ? F2k-1, k=1 k=1
     n 2n-1 F2n+1 = 1 + ? F2k, F2n-2 = -1 + ? (-1)k-1 Fk, k=1 k=1
     2n-1 F 2
    2n = ? FkFk+1, F2n-1 = F 2
    n + F 2
    n-1 . k=1
    Выкладывание этой скромной по размеру статьи преследует несколько целей. Во-первых, "всякое может быть". Возможно, эту публикацию увидит школьник, впервые услышавший о числах Фибоначчи и желающий узнать о них побольше. Он сможет здесь найти названия книг для дальнейшего чтения. Во-вторых, данная статья упоминалась в другой, уже выложенной статье о сопряжённых числах, и я постарался (в меру сил), чтобы тем, кто добрался до тамошнего списка дополнительной литературы, не пришлось далеко ходить. ............