Высшая математика

Функции нескольких переменных

Содержание

1. Понятие функции двух и более переменных

2. Предел и непрерывность функции двух переменных

3. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал

4. Частные производные высших порядков

5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума

6. Условный экстремум

Литература

1. Понятие функции двух и более переменных

Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных.

В данной лекции рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.

Пусть  – множество упорядоченных пар действительных чисел .

Определение 1. Если каждой упорядоченной паре чисел  по некоторому закону  поставлено в соответствие единственное действительное число , то говорят, что задана функция двух переменных  или . Числа  называются при этом независимыми переменными или аргументами функции, а число  – зависимой переменной.

Например, формула , выражающая объем цилиндра, является функцией двух переменных:  – радиуса основания и  – высоты.

Пару чисел  иногда называют точкой , а функцию двух переменных – функцией точки .

Значение функции  в точке  обозначают  или  и называют частным значением функции двух переменных.

Совокупность всех точек , в которых определена функция , называется областью определения этой функции. Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями.

Например, область определения функции  – вся плоскость, а функции  – единичный круг с центром в начале координат ( или .

2. Предел и непрерывность функции двух переменных

Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной.

Пусть – произвольная точка плоскости. – окрестностью точки  называется множество всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству . Другими словами, – окрестность точки  – это все внутренние точки круга с центром в точке  и радиусом .

Определение 2. Число называется пределом функции  при  (или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа  существует  (зависящее от ) такое, что для всех  и удовлетворяющих неравенству  выполняется неравенство .

Обозначается предел следующим образом:

 или .

Пример 1. Найти предел .

Решение. Введем обозначение , откуда . При  имеем, что . Тогда

.

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если: 1)  определена в точке  и ее окрестности; 2) имеет конечный предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Функция  называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. ............