1. БЭТА-ФУНКЦИИ 6
    Бэта - функции определяются интегралом Эйлера первого рода:
    
    = (1.1)
     сходятся при .Полагая =1 - t получим:
    
    = - =
     т.e. аргумент и входят в симетрично. Принимая во внимание тождество
    
    
     по формуле интегрирования почестям имеем
    
    
    
    Откуда
    
    = (1.2)
    
    7
    При целом b = n последовательно применяя(1.2) Получим
    (1.3)
    
     при целых = m,= n,имеем
    
     но B(1,1) = 1,следовательно:
    
    
    
    Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то
    
    
    
    
    8 и в результате подстановки ,получаем
     полагая в(1.1) ,откуда ,получим
    
    (1.4)
     разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки ,получим
    
    =
    
    
    
    
    
    
    
    
    2. ГАММА-ФУНКЦИЯ 9
    Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода
    
    ?(a) = (2.1)
     сходящийся при 0.Положим =ty,t > 0 ,имеем
    
    ?(a) =
     и после замены , через и t через 1+t ,получим
    
    
    
    Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до, имеем:
    
    
     или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:
    
    
    
    10 откуда
    
    (2.2)
     заменяя в (2,1) ,на и интегрируем по частям
    
    
     получаем рекурентною формулу
    
     (2.3)
     так как
    
    
     но при целом имеем
    
    (2.4)
     то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем
    
    
    3. ПРОИЗВОДНАЯ ГАММА ФУНКЦИИ 11
    Интеграл
    
    
     сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл при сходится.
    В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом.Легко видеть что интеграл сходится пов любой области где произвольно.Действительно для всех указаных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса. ............