Геометрические построения на плоскости

 

Введение

Вам, будущим учителям, в школьном курсе математики придется учить ребят решению задач на построение. Целесообразность этой деятельности обусловлена тем, что задачи на построение развивают конструктивное и логическое мышление, прививают навыки исследователя. Поэтому эти задачи составляют важную часть школьного курса геометрии.

Общие аксиомы конструктивной геометрии. Аксиомы математических инструментов

Раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения, называется конструктивной геометрией.

Основным понятием конструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру.

Это понятие принимается без определения, конкретный его смысл известен из практики, где оно означает: начертить, провести (линию), отметить (точку). В интересах логической строгости изложения основное понятие конструктивной геометрии - построить фигуру - характеризуется через основные требования (общие аксиомы конструктивной геометрии).

Эти требования обычно не формулируются в пределах школьного курса геометрии, но они подразумеваются в процессе решения любой геометрической задачи на построение как нечто само собою разумеющееся. Общие аксиомы конструктивной геометрии выражают в aабстрактной форме наиболее существенные моменты многовековой чертежной практики и составляют логическую основу конструктивной геометрии.

Рассмотрим эти общие аксиомы теории геометрии.

I. Каждая данная фигура построена, т.у. если о какой-либо фигуре сказано, что она дана, то под этим подразумевается, что она уже изображена, начерчена, по-другому говоря, построена.

2. Если даны две фигуры, то построено:

а) их объединение

б) пересечение (если оно непусто )

в) разность (если она не равна пустому множеству)

3. Если дана некоторая фигуpa, то можно построить точку:

а) принадлежащую данной фигуре

б) не принадлежащую ей.

Замечание. Аксиомы За и 3б дают возможность построить новые точки, но этим точкам не приписывают никаких свойств. Для построения новых точек, обладающих определенными свойствами, пользуются математическими инструментами: линейкой, циркулем, углом и т.д. Свойства указанных математических инструментов описываются с помощью соответствующих аксиом. При этом следует четко видеть разницу между математическим инструментом конструктивной геометрии и их физическим олицетворением.

Аксиома линейки. Линейка (односторонняя) позволяет построить прямую, проходящую через две данные точки.

Аксиома циркуля. Циркуль позволяет построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным длине данного отрезка.

Аксиомы двусторонней линейки. Двусторонняя линейка позволяет: а) выполнить любое построение, выполнимое линейкой;

б) в каждой из полуплоскостей, определяемых построенной прямой, построить прямую, параллельную этой прямой и проходящую от нее на расстоянии h, где h - фиксированный элемент для данной двусторонней линейки (ширина);

в) если построены две точки А и В, то установить, будет ли АВ > h, и если AB > h , то построить 2 пары параллельных прямых, проходящих соответственно через А и В и отстоящих одна от другой на расстоянии h ,

 

Аксиомы угла. Угол позволяет: а) сделать все построения, выполнимые линейкой; б) через данную точку плоскости провести под углом α к некоторой данной прямой; в) если построены отрезок АВ и фигура ф , то установить, содержит ли фигура Ф точку, из которой отрезок АВ виден под углом α , и если такая существует, то построить ее.

Постановка задачи на построение

Задача на построение состоит, в том, что требуется построить указанными инструментами фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и данной.

Каждая фигура, удовлетворяющая условию задачи, называется решением задач.

Построения, о возможности которых оказано в аксиоме 3, вместе с построениями, перечисленными в аксиомах математических инструментов, назовем основными построениями (ОП).

Найти решение задачи на построение - значит указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых искомая фигура будет считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии.

Перечень основных построений, а следовательно, и ход решения задачи, зависит от употребляемого набора инструментов. ............