Геометрические свойства равнобедренных треугольников
    В. В. Богун
    Предлагаемая статья, как следует из названия, посвящена изучению свойств равнобедренных треугольников, а также установлению взаимосвязей между данными треугольниками. Необходимость исследований назрела, в первую очередь, из-за частого применения в архитектуре равнобедренных треугольников как геометрических моделей отдельных фрагментов зданий и сооружений, а во-вторых, пополнения базы знаний в области элементарной геометрии.
    Где же могут найти применение данные теоретические исследования? Прежде всего в педагогике как таковой, поскольку они существенно расширят кругозор школьников и студентов, изучающих элементарную геометрию, а также тригонометрию, поскольку работа находится на стыке двух разделов математики - элементарной геометрии и тригонометрии, причем их важность абсолютно равнозначна.
    Существенными плюсами данных исследований являются следующие факты:
    Возможность выхода на теорию стереометрической взаимосвязи между геометрическими фигурами, в частности, правильных четырехугольных пирамид;
    Объяснение с помощью свойств равнобедренных треугольников и построенных на их основе правильных четырехугольных пирамид геометрических взаимосвязей между пирамидами Гизы в Египте (Хеопса, Хефрена и Микерина);
    Последний факт должен вызвать особый интерес читательской аудитории к исследованиям, поскольку в отличие от всей геометрии в целом, представленной в популярных учебниках в большинстве случаев лишь в виде "голой" теории, мы имеем сочетание теоретических и практических аспектов.
    Для простоты изложения материала внесем ряд определений:
    Основная высота - высота равнобедренного треугольника, опущенная из вершины, являющейся точкой пересечения равных боковых сторон, на основание и соответственно пересекающей последнее в его середине.
    Полуподобные равнобедренные треугольники - равнобедренные треугольники, для которых справедливо равенство углов при основании одного половинным углам между боковыми сторонами другого.
    Половинноподобные равнобедренные треугольники - равнобедренные треугольники, равные углы при основании одного являются половинными углами при основании другого.
    Теорема 1: Об отношении основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности
    Отношение основной высоты равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно алгебраической сумме единицы и величины, обратной по значению косинусу равных углов при основании.
    Исходные данные:
    Равнобедренный ? АВС (рис. 1); ВD = h ? основная высота, опущенная из вершины В на основание АС = 2 ? а; АВ = ВС = b ? боковые стороны треугольника; DО = КО = LО = r - радиус вписанной в ? АВС окружности, ? ВАС = ? ВСА = ? .
    Доказать:
    (1)
    Доказательство:
    Формулы для вычисления площади ?АВС:
    S ?АВС.
    S ?АВС.
    
    Рис. 1. Равнобедренный ? АВС с вписанной в него окружностью.
    Получим:
    
    
    (1) Следствия из теоремы 1:
    1.1.Отношение половины основания равнобедренного треугольника к радиусу вписанной в него окружности равно котангенсу половинного угла при основании:
    Так как ,
    а
    
    то
    . ............