Интегралы, дифуры, матрицы
    Інтегральне числення
    Невизначений інтеграл
    1. Поняття первісної
    Означення: Функція F(x) називається первісною для ф-ії f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F`(x)=f(x) або dF(x)=f(x)dx.
    Із означення виходить, що первісна F(x) - диференційована, а значить неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжку, на якому вона розглядається.
    Теорема про множину первісних
    Якщо F(x) - первісна для функції f(х) на проміжку І, то:
    F(x)+С - також первісна для f(x) на проміжку І;
    будь-яка первісна Ф(х) для f(x) може біти представлена у вигляді Ф(х)= F(x)+С на проміжку І. (Тут С=const називається довільною сталою).
    2. Невизначений інтеграл. Задача інтегрування
    Означення: Операція знаходження первісних для ф-ії f(x) називається інтегруванням.
    Задача інтегрування функції на проміжку полягає в тому, щоб знайти всі первісні функції на цьому проміжку. Для розв'язання задачі інтегрування функції достатньо знайти одну будь-яку первісну на розглядуваному проміжку, наприклад F(x), тоді (за теоремою про множину первісних) F(x)+С - загальний вигляд всієї множини первісних на цьому проміжку.
    
    Означення: Ф-ія F(x)+С, зо являє собою загальний вигляд всієї множини первісних для ф-ії f(x) на проміжку І і позначається
    
    де f(x) - підінтегральна ф-ія; f(x)dx - підінтегральний вираз; dx - диференціал змінної інтегрування.
    
    Теорема Коші. Для існування невизначеного інтеграла для ф-ії f(x) на певному проміжку достатньо, щоб f(x) була неперервною на цьому проміжку.
    Неінтегровні інтеграли - які неможливо записати через основні елементарні ф-ії.
    
    3. Властивості невизначеного інтеграла
    Властивості, що випливають із означення невизн. інт:
    І. похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній ф-ії:
    
    ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.
    ІІІ.
    Властивості, що відображають основні правила інтегрування:
    IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла.
    V. Невизн. інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо вони існують.
    
    4. Інтегрування розкладом
    Базується на 5-й властивості невизначеного інтеграла. Мета - розкласти підінтегральну ф-ію на такі доданки, які простіше інтегрувати.
    
    5. Інтегрування частинами
    Теорема: Якщо функції u(x) та v(x) мають неперервні похідні, то:
    На практиці ф-ії u(x) та v(x) рекомендується вибирати за таким правилом: при інтегруванні частинами підінтегральний вираз f(x)dx розбивають на два множники типу udv, тобто f(x)dx=udv; при цьому ф-ія u(x) вибирається такою, щоб при диференціюванні вона спрощувалася, а за dv приймають залишок підінтегрального виразу, який мітить dx, інтеграл від якого відомий, або може бути просто знайдений.
    Деякі типи інтегралів і їх заміни:
    v(x):
    
    де Р(х) - многочлен, Q(x) - алгебраїчна ф-ія.
    
    6. ............