Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Инверсия плоскости

в комплексно сопряженных координатах

Выполнила: студентка V курса

математического факультета

Дмитриенко Надежда Александровна

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры

алгебры и геометрии

Александр Николаевич Суворов

Рецензент:

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___»__________2005 г.     Зав. кафедрой                              В.М. Вечтомов

«___»___________2005 г.     Декан факультета                     В.И. Варанкина

Киров

2005

Содержание

Введение........................................................................................................... 3

Глава 1. Основные положения теории инверсии........................................... 4

1.1. Общие сведения о комплексной плоскости......................................... 4

1.2. Определение инверсии – симметрии относительно окружности........ 5

1.3. Формула инверсии в комплексно сопряженных координатах......... 11

1.4. Неподвижные точки и окружность инверсии.................................... 11

1.5. Образы прямых и окружностей при обобщенной инверсии............ 12

1.6. Свойства обобщенной инверсии........................................................ 19

Глава 2. Применение инверсии при решении задач

и доказательстве теорем................................................................. 30

2.1. Применение инверсии при решении задач на построение............... 30

2.2. Применение инверсии при доказательстве........................................ 41

Заключение.................................................................................................... 43

Библиографический список........................................................................... 44

Введение

В наш век современных технологий так и хочется привлечь компьютер для решения задач, в частности, геометрических. Было бы замечательно, если бы от пользователя требовалось только занести в программу нужные данные, а последняя сама бы все рассчитала и выдала, к примеру, радиус и центр искомой окружности. Но вся проблема в том, что программа может работать только с координатами. И есть смысл перевода наиболее эффективных с точки зрения решения задач преобразований, в число которых входит и инверсия, на язык координат. Наиболее просто это получается на комплексной плоскости. Изучению преобразования инверсии комплексной плоскости и посвящена эта дипломная работа.

Цель работы состоит в следующем: обобщить и систематизировать основные факты об инверсии комплексной плоскости и показать применение этого преобразования  при решении задач и доказательстве теорем.

Поставленная цель предполагала решение следующих задач:

·     вывод комплексной формулы инверсии;

·     доказательство основных свойств инверсии на комплексной плоскости;

·     решение нескольких задач при помощи инверсии комплексной плоскости;

·     доказательство ряда теорем при помощи инверсии комплексной плоскости.

Оказалось, что не так много специальных работ по теме. Инверсия комплексной плоскости оказалась крайне слабо освещена в литературе по сравнению с инверсией евклидовой плоскости. ............