Исчисление высказываний.
    В этой работе мы рассмотрим исчисление высказываний как инструмент для определения истинности утверждений. Затем мы рассмотрим расширение исчисление высказываний до исчисления предикатов. Это расширение позволит нам строить рассуждения над целым рядом конструкций таких, как циклы. Мы также рассмотрим идеи эквивалентности, общезначимости или тавтологии для доказательства.
    Начало исчисления высказываний было положено работами Джоржа Буля. Подметив сходство в свойствах логических операций ОR и AND со свойствами арифметических операций умножения и сложения, он создал исчисление для вычисления истиности утверждений подобно тому, как правила арифметических операций позволяют вычислять значения арифметических выражений. В созданном им исчислении Буль обозначил символами как отдельные утверждения, так и целые конструкции из утверждений.
    Любое высказывание в этом исчислении может иметь одно из двух значений: истина (true) или ложь (false). Ниже приведены примеры утверждений:
    Сумма двух сторон треугольника больше или равна третьей стороне этого треугольника.
    2х2=4.
    "Каждый охотник желает знать, где сидят фазаны" (первые буквы слов в этой фразе определяют порядок цветов в спектре слева направо).
    Для того, чтобы строго определить способ записи подобных утверждений Буль предложил понятие высказывания.
    В таблице 5.1. перечислены названия и обозначения всех логических операций, используемых в высказываниях.
    Таблица 5.1.
     ? NOT отрицание ? OR дизъюнкция ? AND коньюнкция ==> импликация ? тождественность
    Определение 5.1. Высказывание - выражение, построенное по следующим правилам:
    true и false - высказывания;
    Любая переменная типа {true, false} - высказывание (такой тип называют boolean);
    Если р - высказывание, то (?р) - высказывание;
    Если p и q - высказывание, то (p?q), (p?q), (p==>q), (p?q) - высказывания.
    Обратите внимание на способ определения высказывания, а именно, на пункты 3 и 4 определения 5.1. Эти пункты определяют высказывание через уже существующие высказывания. С таким приемом, когда определяемое понятие определяют, используя само это понятие, мы встретимся еще не раз. Этот прием называется рекурсией.
    Может возникнуть опасение "порочного круга" в таком определении. Однако, в силу пунктов 1 и 2, где понятие высказывания определяется через понятия логического значения и переменной логического типа, "зацикливания" не происходит.
    Примеры 5.1.
    Пусть p,q и r - переменные типа boolean.
    Тогда приведенные ниже выражения - это высказывания:
     1. p 6. (p?q) 2. q 7. (p?q) 3. false 8. (p==>q) 4. (?р) 9. (p?(r?q)) 5. true 10. (p==>(q?(r?p))
    То, что выражения 1,2,3,4,5 - высказывания, следует из пунктов 1,2,3 определения 5.1. Для выражений 9,10 - это следует из пунктов 2 и 4. Для выражений 9, 10 - это следует из пункта 2 и последовательного применения пункта 4 определения.
    Например:
    (p==>(q?(r?p))
    r==>p - высказывание по пункту 4. Обозначим его s1.
    (q?s1) - высказывание опять по пункту 4. Обозначим его s2 .
    (p==>s2) - высказывание по тому же самому пункту 4.
    Пример 5.2. ............