Задача 1 Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти:
сортом А в количестве 10 единиц,
сортом В — 15 единиц.
При переработке из нефти получаются два материала: бензин (обозначим Б) и мазут (М).
Имеется три варианта технологического процесса переработки:
I: 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М
II:2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М
III:2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М
Цена бензина — 10 долл. за единицу, мазута — 1 долл. за единицу.
Определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.
Решение
"выгодность" -- получение максимального дохода от реализации продукции
"выбор (принятие) решения" состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить.
Обозначим неизвестные величины:
хi—количество использования i-го технологического процесса (i=1,2,3).
Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута) известны.
Для вектора х=(х1,х2,х3),
выручка завода равна (32х1+15х2 +12х3) долл.
Здесь 32 долл. — это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. ·3ед.Б + 1 долл. ·2ед.М = 32 долл.).
Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего процессов.
Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:
для сорта А:
для сорта В:,
где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 — это нормы расхода нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I, II, III соответственно.
Математическая модель
Найти такой вектор х = (х1,х2,х3), чтобы
максимизировать f(x) =32х1+15х2 +12х3
при выполнении условий:
.
Сокращенная запись:
Получили задачу линейного программирования.
Модель (1.4.2.) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).
На дом
Пример. Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу j - го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b.
Обозначим известные параметры задачи:
n — число разновидностей ценных бумаг;
аj — фактическая прибыль (случайное число) от j-го вида ценной бумаги
j — ожидаемая прибыль от j-го вида ценной бумаги.
Обозначим неизвестные величины:
yj — средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида j.
По нашим обозначениям вся инвестированная сумма выражается как
Для упрощения модели введем новые величины
Таким образом, хi — это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг вида j.
Ясно, что
Из условия задачи видно, что цель инвестора — достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском.
Содержательно риск — это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией.
прибыли для ценных бумаг вида i и вида j. Здесь М — обозначение математического ожидания.
Математическая модель
min
при ограничениях
Получили модель Марковица для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг. ............
