Тема 1. Предел функции

Число А называется пределом функции  при , стремящимся к , если для любого положительного числа  (>0) найдется такое положительное число >0 (зависящее в общем случае от ), что для всех , не равных  и удовлетворяющих условию xx<, выполняется неравенство xА x<.

Для предела функции вводится обозначение  =А.

Пределы функций обладают следующими основными свойствами:

Функция не может иметь более одного предела.

Если  = С (постоянная), то  С.

Если существует А, то для любого числа  верно:

Если существуют  А и  В, то = АВ,  а если В0, то

.

Операция предельного перехода перестановочна с операцией вычисления непрерывной функции, т. е. справедлива формула

Если функция  непрерывна в точке , то искомый предел равен значению функции в этой точке, т.е. он находится непосредственной подстановкой предельного значения переменной вместо аргумента :

Функция ( называется бесконечно малой величиной при , если ее предел равен нулю:  Функция называется бесконечно большой величиной при , если

Пример 1.  9.

Пример 2.   .

В рассмотренных примерах предел находился сразу: в виде числа или символа  (бесконечность). Но чаще при вычислении пределов мы встречаемся с неопределенностями, когда результат нахождения предела не ясен, например, в случае отношения двух бесконечно малых функций (условное обозначение ) или бесконечно больших ().Кроме названных встречаются неопределенности вида

Для раскрытия неопределенностей используются специальные приемы и два следующих предела, которые играют особую роль в математике и поэтому называются замечательными:

- первый замечательный предел

-второй замечательный предел  (число Эйлера).

Пример 3. .

Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида :

.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Найдем корни многочлена, стоящего в числителе. Для этого составим уравнение второй степени  и найдем его решение:

 

Тогда для квадратного трехчлена справедливо разложение на множители

.

Аналогичные действия выполним для многочлена, стоящего в знаменателе.

Уравнение  имеет решения

 

и знаменатель представляется в виде:

Сократим дробь на множитель  и вычислим ее при

Пример 4.  

Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что возникает неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение , являющееся сопряженным к знаменателю

= .

Пример 5. .

Решение. Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на (в более общем случае, когда числитель и знаменатель представляют многочлены разных степеней, делят на  с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя). Используя свойства пределов, получим:

.

Пример 6. .

Решение. При  имеем неопределенность вида . Представим , разделим и умножим числитель и знаменатель на числа 2, 5 и , тогда предел преобразуется к виду:

.

Пользуясь свойствами пределов и первым замечательным пределом, далее имеем:

.

Пример 7. .

Решение. Имеем неопределенность вида [], так как

, а .

Выделим у дроби целую часть

.

Введем новую переменную  и выразим отсюда  через : . ............