Содержание

 

1. Введение

2. Постановка задачи

3. Нахождение собственных чисел и построение ФСР 4. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера 5. Нахождение приближённого решения в виде матричного ряда

6. Построение общего решения матричным методом

7. Задача Коши для матричного метода

8. Решение неоднородной системы

Графики

Заключение

 

1. Введение

Рассмотрим систему линейных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме:

 (1)

где коэффициенты аij , i=1,2,…..,n, к=1,2,…,n, являются постоянными величинами;

yi=yi(t), i=1,2,…,n - неизвестные функции переменной t.

Если все bi(t) (i=1,2,…,n) положить равным нулю (bi(t)=0), то получится однородная система, соответствующая неоднородной системе (1).

Обозначая матрицу системы через А(х), а вектор  через  тогда систему (1) можем переписать в матричной форме

(1а)

Если , то получаем соответствующую систему однородных уравнений

. (2)

Всякая совокупность n функций

  

определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a;b), называется решением системы (1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (1) в тождества:

справедливые при всех значениях x из интервала (a, b). Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной.

 

2. Постановка задачи

Цель работы: исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей:

;;

Задание

1.         Найти собственные числа и построить фундаментальную систему решений (ФСР).

2.         Построить фундаментальную матрицу методом Эйлера.

3.         Найти приближенное решение в виде матричного ряда.

4.         Построить общее решение матричным методом. Исследовать зависимость Жордановой формы матрицы А от ее собственных чисел.

5.         Решить задачу Коши.

Начальные условия:

Вектор начальных условий: [1, 2, 3, 4]

t = 0

 
3. Нахождение собственных чисел и построение ФСР

Однородной линейной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида:

 (3)

Если в матрице системы  все =const, то данная система называется системой с постоянными коэффициентами или с постоянной матрицей.

Фундаментальной системой решений однородной линейной системы уравнений называется базис линейного пространства решений a, т.е. n линейно независимых решений этой системы.

Для построения фундаментальной системы решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числа характеристического полинома, так как в зависимости от их вида (характеристические числа могут быть действительными разными, кратными, комплексными) строится фундаментальная система решений.

Для того чтобы эта система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (вронскиан) был равен нулю:

 (4)

Из этого уравнения степени n определяется значение k, при которых система имеет нетривиальные решения. ............