МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка

Дипломная работа

Исполнитель:

студентка группы М-51  БРАВАЯ Е.Н.

Научный руководитель:

доцент, к. ф-м. н. ФИЛИПЦОВ В.Ф.

Рецензент:

профессор, д. ф-м. н. СТАРОВОЙТОВ Э.И.

Гомель 2003

Реферат

Дипломная работа 38 страниц, 11 источников.

Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, парабола, гипербола, окружность, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло, фокус.

Данная работа содержит результаты исследований автора, относящиеся к качественному исследованию в целом двумерной квадратичной стационарной системы.

Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе проводится построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами, при этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование в целом выделенных в первой главе классов систем при фиксированных значениях некоторых параметров.

Содержание

Реферат

Введение

1. Построение квадратичных двумерных стационарных систем

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде параболы

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде окружности либо гиперболы

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.3), (1.13)

2. Качественное исследование построенных классов систем

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.28) - (1.31)

2.2 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.41) - (1.42)

2.3 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.52) - (1.53)

Заключение

Список использованных источников

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Введение

Известно, что в элементарных функциях и даже в квадратурах интегрируются очень немногие классы дифференциальных уравнений. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3, с. 191-211] и уточнены Дж.Д. Биркгофом [4, с.175-179].

 (0.1)

Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P (x,y) и Q (x,y) - аналитические функции. ............