Курсовая работа
"Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами"
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1. Необходимые определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Определения, примеры и общие свойства -перестановочных подгрупп
4. Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами
Заключение
Список использованных источников
Перечень условных обозначений
– знак строгого включения множеств;
– знак включения множеств;
– принадлежность элемента множеству;
– объединение множеств;
– пересечение множеств;
– является подгруппой группы ;
– является собственной подгруппой группы ;
– является максимальной подгруппой группы ;
– является нормальной подгруппой группы ;
– является субнормальной подгруппой группы ;
– является минимальной нормальной подгруппой группы ;
Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
– подгруппа, сопряжённая подгрупп посредством элемента ;
– циклическая группа порядка ;
– симметрическая группа степени ;
– ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в ;
– подгруппа, порожденная всеми подгруппами, сопряженными с подгруппой из элементами из , то есть ;
– централизатор множества T в группе G;
– центр группы G;
– нормализатор подгруппы в группе ;
– наибольшая нормальная подгруппа нечетного порядка группы ;
– наибольшая нормальная –подгруппа группы ;
– –холловская подгруппа группы ;
– силовская –подгруппа группы ;
– дополнение к силовской –подгруппе в группе , т.е. –холловская подгруппа группы ;
– группа G изоморфна группе ;
Пусть – группа, и , тогда:
– правый смежный класс,
– левый смежный класс;
– правая трансверсаль подгруппы
в группе ;
– левая трансверсаль подгруппы
в группе ;
– индекс подгруппы в группе ;
– порядок группы G;
Пусть и – подгруппы группы и , тогда:
– двойной смежный класс группы по подгруппам
и ;
– факторгруппа группы по подгруппе ;
– прямое произведение подгрупп A и B;
– цоколь группы ;
– коммутатор элементов и ;
– коммутант группы G;
– множество всех простых чисел;
– дополнение к во множестве , где – некоторое множество простых чисел;
–-длина группы .
Введение
Напомним, что подгруппа группы перестановочна с подгруппой , если . Если перестановочна со всеми подгруппами группы , то она называется перестановочной [6] или квазинормальной в [7].
Так как для двух перестановочных подгрупп и произведение также является подгруппой в , то понятие перестановочных подгрупп является одним из наиболее важных обобщений понятия нормальных подгрупп.
Перестановочные подгруппы имеют много интересных свойств. Как известно, например, что каждая перестановочная подгруппа является восходящей [8] и, если она является перестановочной подгруппой в некоторой конечной порождённой группе , то субнормальна в [8].
Но фактически эти два результата были получены как обобщения следующего наблюдения: каждая перестановочная подгруппа конечной группы является субнормальной [7].
Разрабатывая этот результат Ito и Szep доказали, что для каждой перестановочной подгруппы конечной группы , – нильпотентна [9].
Немного позже было доказано, что при таких условиях, [18].
При некоторых естественных условиях мы встречаемся с ситуацией, когда некоторые подгруппы и группы неперестановочны, но существует подгруппа такая, что для некоторого .
Основываясь на этом наблюдении мы дадим следующие определения.
Определение 1 Пусть , – подгруппы группы и . ............
