МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса.

Курсовая работа

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-31

Зелюткина В.И.

Научный руководитель: профессор,

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры алгебры и геометрии

Монахов В.С.

Гомель 2005

Содержание

Введение

1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса

3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса

Заключение

Список литературы

Введение

Данная курсовая работа представлена в виде трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Здесь представлены:

A. Пусть  - конечная группа и . Тогда и только тогда в группе  все подгруппы четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:

1)  - 2-группа;

2)  - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где  - показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;

3) .

1.  - наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы  также принадлежит .

2. , то ----свободна.

3.  и  не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в  элементарная абелева или типа .

4.  - разрешимая группа и , то 2-длина группы  не превосходит 1.

5.  - разрешимая группа и . Если  и силовская 2-подгруппа  из  неабелева, то центр  совпадает с центром .

6.  - разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда  - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где  - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы .

Лемма 7.  и  - простая неабелева группа, то .

8.  и , то .

9.  для .

Во второй - конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:

1)  или , где  - 5-группа;

2) , где  - 3-группа.

C.  - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда  бипримарна, и  - дисперсивная группа порядка , где .

1.  конечная группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы  каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.

2.  - конечная группа и  - простое число, делящее порядок . Если в  нет -замкнутых подгрупп Шмидта, то  -нильпотентна.

3.  - сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой  и циклической силовской -подгруппой , то .

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

6. группа порядка , где  и  - простые числа,  и  не делит , нильпотентна.

7. ............