Муниципальное Образовательное Учреждение

Средняя Общеобразовательная школа №4

 

 

 

 

 

 

 

 

Конические сечения

Выполнил

Спиридонов Антон

ученик 11 А класса

Проверил

Коробейникова А. Т.

 

 

Тобольск – 2006 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Введение   

Понятие конических сечений   

Виды конических сечений   

Исследование   

Построение конических сечений   

Аналитический подход   

Применение   

Приложение 

Список литературы 

Введение.

 

Цель: изучить конические сечения.

Задачи: научиться различать виды конических сечений, строить кинические сечения и применять аналитический подход.

 Конические сечения впервые предложил использовать древнегреческий геометр Менехм, живший в IV веке до нашей эры, при решении задачи об удвоении куба. Эту задачу связывают со следующей легендой.

Однажды на острове Делосе вспыхнула эпидемия чумы. Жители острова обратились к оракулу, который сказал, что для прекращения эпидемии надо увеличить вдвое золотой жертвенник, который имел форму куба и находился в храме Аполлона в Афинах. Островитяне изготовили новый жертвенник, ребра которого были вдвое больше ребер прежнего. Однако чума не прекратилась. Разгневанные жители услышали от оракула, что неверно поняли его предписание — удвоить было надо не ребра куба, а его объём, то есть увеличить ребра куба в раз. В терминах геометрической алгебры, которой пользовались греческие математики, задача означала: по данному отрезку а найти такие отрезки х и y такие, что а : х = х : y = y : 2a. Тогда длина отрезка х будет равна .

Приведенную пропорцию можно рассматривать как систему уравнений:

Но x2=ay  и y2=2ax — это уравнения парабол. Поэтому для решения задачи следует отыскать точки их пересечения. Если же учесть, что из системы можно получить и уравнение гиперболы xy=2a2, то эту же задачу возможно решить нахождением точек пересечения параболы с гиперболой.

Для получения конических сечений Менехм пересекал конус - остроугольный, прямоугольный или тупоугольный — плоскостью, перпендикулярной одной из образующих. Для остроугольного конуса сечение плоскостью, перпендикулярной к его образующей, имеет форму эллипса. Тупоугольный конус при этом дает гиперболу, а прямоугольный – параболу.

Отсюда произошли и названия кривых, которые были введены Аполлонием Пергским, жившим в III веке до нашей эры: эллипс (έλλείψίς ), что означает изъян, недостаток (угла конуса до прямого); гипербола (ύπέρβωλη) — преувеличение, перевес (угла конуса над прямым); парабола (παραβολη) — приближение, равенство (угла конуса прямому углу). Позже греки заметили, что все три кривые можно получить на одном конусе, изменяя наклон секущей плоскости. При этом следует брать конус, состоящий из двух полостей и мыслить, что они простираются в бесконечность (Рис. 1).

Если провести сечение кругового конуса, перпендикулярное его оси, а потом поворачивать секущую плоскость, оставляя одну точку её пересечения с конусом неподвижной, то увидим, как окружность будет сначала вытягиваться, превратившись в эллипс. Затем вторая вершина эллипса уйдет в бесконечность, и вместо эллипса получится парабола, а потом плоскость пресечет и вторую полость конуса и получится гипербола. ............