НТИ НИЯУ МИФИ

Кафедра автоматизации управления

ОТЧЕТ

по лабораторной работе №2

по курсу: «Основы теории управления»

на тему: «КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ»

Выполнил: ст. гр. АУ-47Д

Андреев В.А.

Руководитель:

Мухаматшин И.А.

“ ___ ” декабря 2010 г.

Новоуральск 2010

Задание

Определить устойчивость системы по алгебраическим критериям устойчивости (критерий Рауса, критерий Гурвица) и по частотным критериям (критерий Михайлова, критерий Найквиста). Структурная схема представлена на рис 1.

Рис 1

Таблица 1 – Исходные данные

№

10

10 9 91

Значение постоянных времени (для всех вариантов):

Составление передаточной функции для замкнутой системы

Если представить передаточную функцию в виде

,

то операторный коэффициент передачи:

характеристический полином:

Получили полином второго порядка, тогда его коэффициенты определятся:

Устойчивость системы по критерию Рауса

Этот критерий формулируется в табличной форме. Таблица Рауса состоит из  – коэффициентов, связанных с коэффициентами  полинома , где – номер столбца, – номер строки (их число равно ):

где

, при

Формулировка критерия Рауса

САУ устойчива, если коэффициенты первого столбца таблицы при  положительны: , , , …, .

Для многочлена второго порядка коэффициенты:

Поскольку все коэффициенты 1-го столбца положительны, то по критерию Рауса система устойчива.

Устойчивость системы по критерию Гурвица

Суть критерия устойчивости Гурвица: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительны при .

Для системы второго порядка (n=2) характеристическое уравнение имеет вид:

Матрица Гурвица примет вид:

Ее диагональные миноры:

получились положительными

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все n диагональных миноров были положительны .

Поскольку все диагональные миноры матрицы Гурвица положительны (Δ1 > 0, Δ2 > 0) при a0 > 0, то система устойчива.

Устойчивость системы по критерию Михайлова

Формулировка критерия Михайлова:

Замкнутая система автоматического управления устойчива, если характеристическая кривая (годограф Михайлова), начинаясь на положительной вещественной оси в точке an, при изменении частоты 0£ w £ ¥ последовательно проходит число квадрантов равное степени характеристического полинома.

Задан характеристический полином системы:

Построим годограф Михайлова в Маткад при изменении частоты от 0 до 10000 с-1 (рис 2)

Рис 2

Годограф, изображенный на рис 2 начинается на действительной положительной оси и проходит последовательно две четверти (равно степени полинома D(p)), (очень незначительно выступает на второй квадрант, возможно из-за того, что один из коэффициентов полинома очень мал a0 = 0.0000081, близок к нулю). Т.е наблюдаемая устойчивость на грани.

Поскольку годограф пересекает последовательно 2 квадранта для полинома второго порядка, то по критерию Михайлова система устойчива.

Устойчивость системы по критерию Найквиста

Для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии:

Условие устойчивости замкнутой системы сводится к требованию, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1,j0).

Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста имеет такую формулировку:

Для устойчивости системы в замкнутом состоянии АФЧХ разомкнутой системы должна охватывать точку (-1,j0). При этом число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки (-1,j0) сверху вниз должно быть на k/2 больше числа пересечений в обратном направлении, где k – число полюсов передаточной функции W(p) разомкнутой системы с положительной действительной частью.

Передаточная функция разомкнутой системы:

тогда АФЧХ:

Построим АФЧХ разомкнутой системы (рис 3)

Рис 3

Из рис 3: годограф не охватывает точку (-1,j0),следовательно, система устойчива.

Вывод

В ходе работы была проведена оценка устойчивости системы по различным алгебраическим и частотным критериям. ............