Кафедра высшей математики
Курсовая работа
По линейной алгебре и аналитической геометрии
«Кривые и поверхности второго порядка»
Дубна 2002
Оглавление
Введение
Часть I. Исследование кривой второго порядка
1. Определение типа кривой с помощью инвариантов
2. Приведение к каноническому виду
3. Построение графиков
4. Вывод
Часть II. Исследование поверхности второго порядка
1. Определение типа поверхности.
2. Приведение к каноническому виду
3. Исследование формы поверхности методом сечений
4. Графики уравнения поверхности.
5. Вывод
Введение Цель:
Целью данной курсовой работы является исследование кривой и поверхности второго порядка. Закрепление теоретических знаний и практических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.
Постановка задачи:
I) Для данного уравнения кривой второго порядка:
1) Определить тип кривой с помощью инвариантов.
2) При a=0 записать каноническое уравнение прямой и определить расположение центра
3) Привести уравнение к каноническому виду, применяя параллельный перенос и поворот координатных осей.
II) Для данного уравнения плоскости второго порядка:
1) Исследовать форму поверхности методом сечений плоскостями, построить линии, полученные в сечениях.
2) Построить поверхность в канонической системе координат.
Часть I. Исследование кривой второго порядка
1. Определение типа кривой с помощью инвариантов
Для данного уравнения кривой второго порядка:
(5 - a)x2 + 4xy + 3y2 + 8x – 6y +5 = 0 (3.1)
определить зависимость типа кривой от параметра a с помощью инвариантов.
Для данного уравнения кривой второго порядка:
a11 = 5 - a, a12 = 2, a13 = 4, a22 = 2, a23 = -3, a33 = 5
Вычислим инварианты:
I1 = a11 + a22 = (5 - a) +2 = 7 - a
I2 == = (5 - a)2 – 4 = 6 -2a
I2 === (5 - a)10-24-24-32-9(5 - a)-20 = -a-95
Согласно классификации кривых второго порядка:
I. Если I2 = 0, то данное уравнение (3.1) определяет кривую параболического типа:
I2 = 6 - 2a = 0, следовательно, при a = 3 уравнение определяет кривую параболического типа.
При a = 3 I3 = - a - 95 = -3 - 95 = 98 ¹ 0. Значит, при a = 3 уравнение (3.1) задаёт параболу.
II. Если I2 ¹ 0, то задаваемая кривая является центральной. Следовательно, при a ¹ 3 данное уравнение задаёт центральную кривую.
1. Если I2 > 0, то уравнение задаёт кривую эллиптического типа:
Значит, при a < 3 уравнение (3.1) задаёт кривую эллиптического типа.
a. Если I1 I3 < 0, то уравнение определяет эллипс:
I1 I3 = - (7 - a)(a+95) = a2+88a-665 < 0, при решении получаем a Î (-95 , 7). Следовательно, при a Î (-95 , 3) уравнение (3.1) задаёт эллипс.
b. Если I1 I3 > 0, то уравнение определяет эллипс:
I1 I3 = a2+88a-665 > 0, при решении получаем a Î (-¥, -95). ............
