Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова Кафедра высшей математики КУРСОВАЯ РАБОТА на тему: "Кривые третьего и четвертого порядка" Выполнили: студенты группы С-12-00 Пинаев И.Н. Искаков Р.Р. Проверила: доцент кафедры высшей математики к.ф.-м.наук Самарина С.М. Чебоксары, 2002 Декартов лист 1. Особенности формы. Декартовым листом называется кривая 3-го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид (1) Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениями декартова листа, которые можно получить, полагая y=tx, присоединяя к этому равенству равенство (1) и решая полученную систему относительно х и у, в результате будем иметь:
    (2) откуда следует, что декартов лист является рациональной кривой. Заметим еще, что полярное уравнение декартова листа имеет вид (3) Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симметрично, откуда следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы у=х. Обычное исследование на особые точки приводит к заключению, что начало координат является узловой точкой декартова листа. Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей с началом координат, можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членов низшей степени из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем З аху = 0, откуда получим х = 0 и у = 0 - искомые уравнения касательных в узловой точке. Эти касательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале координат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что в первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой у = х в точке Точки этой петли, в которых касательные параллельны координатным осям, имеют координаты
    и (cм. рис. 1) Для окончательного заключения о форме кривой следует еще найти асимптоту Заменяя в уравнении кривой у на приравняем нулю в полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями х. Получим и b = - а. Таким образом, декартов лист имеет асимптоту у = - х - а; следовательно, во 2-м и 4-м координатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность. Рис. 1 2. Свойства. Согласно теореме Маклорена, если в трех точках алгебраической кривой 3-го порядка, лежащих на одной прямой, провести касательные к этой кривой, то точки их пересечения с кривой будут лежать также на прямой линии. Применительно к декартову листу эта теорема доказывается просто. Выведем с этой целью предварительно условие пребывания трех точек декартова листа, соответствующих значениям t1 , t2 и t3 параметра, на одной прямой. Если уравнение прямой имеет вид y=kx+b, то значения параметра, соответствующие точкам пересечения этой прямой с кривой, должны удовлетворять системе Система эта приводит к уравнению корни которого и будут искомыми значениями t1 , t2 и t3 параметра, откуда следует, что (4) Это равенство и является условием пребывания трех точек M1(t1 ), M2(t2), М3 (t3) декартова листа на одной прямой. Располагая этим условием, покажем справедливость теоремы Маклорена для декартово листа. Действительно, касательную в точке M1 (t1) можно рассматривать как прямую, которая пересекает декартов лист в двух совпадающих между собой точках, для которых t2=t1, и в третьей точке, для которой соответствующее значение параметра обозначим через T1. Условие (4) примет вид t12 T1= -1. Для касательных в точках М2 и M3 получим аналогичные соотношения t22 T2 = -1 и t32 T3 = -1. ............