Высшая математика Кривые второго порядка

Квадратичные формы

Содержание

1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи

2. Знакоопределенность квадратичных форм

3. Критерии положительной и отрицательной определенностей

Литература

1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи

 

Квадратичной формой j (х1, х2, …, xn) n действительных переменных х1, х2, …, xn называется сумма вида

,(1)

где aij – некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что aij = aji.

Квадратичная форма называется действительной, если aij Î ГR. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричная матрица

то есть АТ = А. Следовательно, квадратичная форма (1) может быть записана в матричном виде j (х) = хТАх, где

хТ = (х1 х2 … xn). (2)

И, наоборот, всякой симметричной матрице (2) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если невырожденной является ее матрица А. (напомним, что матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю). В противном случае квадратичная форма является вырожденной.

Пример 1.

Записать матрицу квадратичной формы

j (х1, х2, x3) =  – 6х1х2 – 8х1х3 +  + 4х2х3 –

и найти ее ранг.

Решение.

Þ r(A) = 3 Þ

квадратичная форма невырождена.

2. Знакоопределенность квадратичных форм

 

Квадратичная форма (1) называется положительно определенной (или строго положительной), если j(х) > 0, для любого х = (х1, х2, …, xn), кроме х = (0, 0, …, 0).

Матрица А положительно определенной квадратичной формы j(х) также называется положительно определенной. Следовательно, положительно определенной квадратичной форме соответствует единственная положительно определенная матрица и наоборот.

Квадратичная форма (1) называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если j(х) < 0, для любого х = (х1, х2, …, xn), кроме х = (0, 0, …, 0).

Аналогично как и выше, матрица отрицательно определенной квадратичной формы также называется отрицательно определенной.

Следовательно, положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма j(х) достигает минимального (максимального) значения j(х*) = 0 при х* = (0, 0, …, 0).

Отметим, что большая часть квадратичных форм не является знакоопределенными, то есть они не являются ни положительными, ни отрицательными. Такие квадратичные формы обращаются в 0 не только в начале системы координат, но и в других точках.

Пример 2.

Определить знакоопределенность следующих квадратичных форм.

1)

Þ

т. е. квадратичная форма  является положительно определенной.

2)

Þ

т. е. квадратичная форма  является отрицательно определенной.

3)

Þ

данная квадратичная форма не является знакоопределенной, так как она равна 0 во всех точках прямой х1 = –х2, а не только в начале системы координат.

Когда n > 2 требуются специальные критерии для проверки знакоопределенности квадратичной формы. Рассмотрим их.

Главными минорами квадратичной формы называются миноры:

то есть это миноры порядка 1, 2, …, n матрицы А, расположенные в левом верхнем углу, последний из них совпадает с определителем матрицы А.

3. ............