КУРСОВОЙ ПРОЕКТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ "ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ" Тема. Линейное программирование: постановка задач и графическое решение. Научный руководитель: Чернов Александр Степанович Исполнитель: Кудрявцева Елена Александровна Г. Мурманск 1998 год ПЛАН. Введение. 1. Общая задача линейного программирования. 1.1. Формулировка задачи. 1.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования. 2. Графический метод решения задачи линейного программирования. 2.1. Область применения. 2.2. Примеры задач, решаемых графическим методом. 2.3. Обобщение графического метода решения задач линейного программирования. Литература. Введение.
    
    Линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. Казалось бы, что для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум достаточно применить хорошо разработанные методы математического анализа, однако невозможность их использования можно довольно просто проиллюстрировать.
    Действительно, путь необходимо исследовать на экстремум линейную функцию Z = С1х1+С2х2+... +СNxN при линейных ограничениях
    a11x1 + a22x2 + ... + a1NХN = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2NХN = b2 . . . . . . . . . . . . . . .
    aМ1x1 + aМ2x2 + ... + aМNХN = bМ
    
    Так как Z - линейная функция, то = Сj (j = 1, 2, ..., n), то все коэффициенты линейной функции не могут быть равны нулю, следовательно, внутри области, образованной системой ограничений, экстремальные точки не существуют. Они могут быть на границе области, но исследовать точки границы невозможно, поскольку частные производные являются константами.
    Для решения задач линейного программирования потребовалось создание специальных методов. Особенно широкое распространение линейное программирование получило в экономике, так как исследование зависимостей между величинами, встречающимися во многих экономических задачах, приводит к линейной функции с линейными ограничениями, наложенными на неизвестные. 1. Общая задача линейного программирования 1.1. Формулировка задачи.
    
    Даны линейная функция (1.1) Z = С1х1+С2х2+... +СNxN и система линейных ограничений
    a11x1 + a22x2 + ... + a1NХN = b1
     a21x1 + a22x2 + ... + a2NХN = b2
     . . . . . . . . . . . . . . . (1.2) ai1x1 + ai2x2 + ... + aiNХN = bi
     . . . . . . . . . . . . . . .
    aM1x1 + aM2x2 + ... + aMNХN = bM
     (1.3) xj 0 (j = 1, 2, ... ,n) где аij, Ьj и Сj - заданные постоянные величины.
    Найти такие неотрицательные значения х1, х2, ..., хn, которые удовлетворяют системе ограничений (1.2) и доставляют линейной функции (1.1)минимальное значение.
    Общая задача имеет несколько форм записи.
    Векторная форма записи. Минимизировать линейную функцию Z = СХ при ограничениях (1.4) А1х1 + А2x2 + ... + АNxN = Ао, X 0
    где С = (с1, с2, ..., сN); Х = (х1, х2, ..., хN); СХ - скалярное произведение; векторы
    
     A1 = , A2 = ,..., AN = , A0 =
    
    
    состоят соответственно из коэффициентов при неизвестных и свободных членах.
    Матричная форма записи. ............