Реферат
Тема: «Линейные системы уравнений»
Содержание
1. Уравнения, векторы, матрицы, алгебра
2. Умножение матриц как внешнее произведение векторов
3. Нормы векторов и матриц
4. Матрицы и определители
5. Собственные значения и собственные векторы
6. Ортогональные матрицы из собственных векторов
7. Функции с матричным аргументом
8. Вычисление проекторов матрицы
Пример использования числовых характеристик матриц
10. Оценка величины и нахождение собственных значений
Литература
1. Уравнения, векторы, матрицы, линейная алгебра
Многие из рассмотренных нами задач сводились к формированию систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений, которые требовалось решить. Пока системы включали в себя не более трех-четырех переменных, их несложно было решать известными классическими методами: методом определителей (Крамера) или методом исключения переменных (Гаусса). С появлением цифровых вычислительных машин порядок алгебраических уравнений, решаемых методом исключений вырос в несколько десятков раз. Однако выявилось множество причин, по которым решение таких систем получить не удавалось. Появившиеся различные модификации метода исключения не привели к существенным улучшениям ситуации с получением решений. Появление же систем с количеством переменных более многих сотен и тысяч заставили обратиться и развивать итерационные методы и методы эквивалентных векторно-матричных преобразований применительно к решению линейных систем алгебраических уравнений.
Основные теоретические результаты были получены путем обобщения известных классических методов функционального анализа и алгебры конечномерных линейных пространств на векторно-матричные представления систем линейных алгебраических и дифференциальных уравнений.
Общая форма записи линейной системы алгебраических уравнений с n неизвестными может быть представлена следующим образом:
Здесь – неизвестные,
– заданные числа,
– заданные числовые коэффициенты.
Последовательность записи уравнений в системе и обозначение неизвестных в последней не играет роли. В этом плане удобно при анализе и исследованиях системы использовать упорядоченную индексацию натурального ряда для неизвестных, значений правых частей и коэффициентов в уравнениях, однозначно привязывая, тем самым, каждое слагаемое и каждое уравнение к определенной позиции в общей записи. В результате можно выделить в данной записи уравнений три позиционно упорядоченных неделимых объекта:
список переменных – ,
список правых частей – и
матрицу коэффициентов – .
Первые два объекта в линейной алгебре называют вектором-строкой, а второй – квадратной матрицей.
Операции с векторами, матрицами должны быть определены так, чтобы однозначно отображать допустимые эквивалентные преобразования исходной системы алгебраических уравнений. В предельных случаях задания векторов и матриц: , – аддитивные и мультипликативные операции должны переходить в аналогичные операции со скалярными величинами.
Если рассмотреть i-тую строку исходной системы
,
то в ней кроме упорядоченного расположения компонент присутствует упорядоченное по индексу j размещение коэффициентов , которые могут рассматриваться как вектор-строка . Результатом суммы покомпонентного перемножения двух векторов-строк должно быть число. ............
