МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХПИ»
Кафедра «Вычислительной техники и програмирования»
Расчётно–графическое задание
по курсу «Теория алгоритмов и вычислительные методы»
Харьков – 2005
Исходные данные:
Вариант №
y0
y1
y2
y3
y4
y5
h
x0
64 -0.02 0.604 0.292 -0.512 -1.284 -2.04 0.5 0.3
Задача 1
Исходные данные вводятся в ЭВМ как абсолютно точные числа и представляются в ней в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью в одну миллионную. Введенные данные x0 и y0 служат основой формирования двух векторов x=(x0, x1, …, xn) и y=(y0, y1, …, yn) по рекуррентным формулам:
Вычислить скалярное произведение
с := (x, y) по алгоритму:
с := 0; i := 0;
while i < n + 1 do c := c + xi · yi;
и оценить аналитически и численно инструментальную абсолютную и относительную погрешности.
Решение
Поскольку данные представляются в ЭВМ в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью, то
x0 = x0(1+δ)
y0 = y0(1+δ)
C0 = x0y0(1+δ)
При i = 1
При i = 2
x2 = x03(1+δ)5
y2 = y0(1+δ)3
C2 = x0y0(1+δ)5 + x02(1+δ)7 + x03y0(1+δ)10
При i = 3
x3 = x04(1+δ)7
y3 = (1+δ)5
C3 = x0y0(1+δ)6 + x02(1+δ)8 + x03y0(1+δ)11 + x04(1+δ)14
При i = 4
x4 = x05(1+δ)9
y4 = y0(1+δ)7
C4 = x0y0(1+δ)7 + x02(1+δ)9 + x03y0(1+δ)12 + x04(1+δ)15 + x05y0(1+δ)18
Выявим закономерность изменения Ci:
При расчете Cn без учета погрешности исходных данных и погрешности вычисления, получим
Обозначим эту сумму как S1.
Тогда абсолютная погрешность S2
а относительная погрешность
Оценим инструментально относительную и абсолютные погрешности при n = 10
S1 = 0.0923071
S2 = 1.45914·10-6
S3 = 1.58075·10-5
Задача 2
Для функции g(x), заданной своими значениями в шести точках, составить таблицу всех повторных разностей. Преобразовать функцию g(x) с помощью линейного преобразования x = a + b * k в функцию G(k) с целочисленным аргументом k. В качестве проверки правильности заполнения таблицы вычислить аналитически конечную разность Δng(x) = ΔnG(k) для n = 5.
Решение
Составим таблицу всех повторных разностей:
k x y Δy
Δ2y
Δ3y
Δ4y
Δ5y
0 0.3 0.02 -1.576 0.044 -0.136 0.66 -0.54 1 1.1 -1.556 -1.532 -0.092 0.524 0.12 — 2 1.9 -3.088 -1.624 0.432 0.644 — — 3 2.7 -4.712 -1.192 1.076 — — — 4 3.5 -5.904 -0.116 — — — — 5 4.3 -6.02 — — — — —
Найдем формулу перехода от x к k:
Выполним проверку, вычислив аналитически конечную разность
Δng(x)= ΔnG(k) для n = 5:
Конечные разности, вычисленные аналитически и таблично Δng(x) = ΔnG(k) для n = 5 совпали, следовательно, таблица повторных разностей составлена верно.
Задача 3
Таблично заданную функцию G(k) с целочисленным аргументом представить в виде разложения по факториальным многочленам (z(n) = z · (z-1) · (z-2) · … · (z - n + 1)) и преобразовать его в степенные многочлены G(z) и G(x).
Решение
Представим функцию G(k) в виде разложения по факториальным многочленам:
Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(z):
Выполним проверку при k = 1:
0.604=0.604
Так как результаты совпали, значит степенной многочлен G(z) представлен правильно.
Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(x). ............
