Математическое программирование
    
    Общая задача линейного программирования (ЗЛП):
    
    Здесь (1) называется системой ограничений , ее матрица имеет ранг r ? n, (2) - функцией цели (целевой функцией). Неотрицательное решение (х10, x20, ... , xn0) системы (1) называется допустимым решением (планом) ЗЛП. Допустимое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую функцию (2) в min или max (оптимум).
    
    Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс - методом необходимо ее привести к определенной (симплексной) форме:
    
    (2`) f+cr+1xr+1 + ... + csxs + ... + cnxn = b0 ? min
    
    Здесь считаем r < n (система имеет бесчисленное множество решений), случай r = n неинтересен: в этом случае система имеет единственное решение и если оно допустимое, то автоматически становится оптимальным.
    В системе (1`) неизвестные х1, х2, ... , хr называются базисными (каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом +1), остальные хr+1, ... , xn - свободными. Допустимое решение (1`) называется базисным (опорным планом), если все свободные неизвестные равны 0, а соответствующее ему значение целевой функции f(x10, ... , xr0,0, ... ,0) называется базисным.
    В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами:
    а) система (1`) удовлетворяет условиям :
    все ограничения - в виде уравнений;
    все свободные члены неотрицательны, т.е. bi ? 0;
    имеет базисные неизвестные;
    б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям :
    содержит только свободные неизвестные;
    все члены перенесены влево, кроме свободного члена b0;
    обязательна минимизация (случай max сводится к min по формуле max f = - min(-f)).
    
    Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответствует симплекс - матрица :
    Заметим, что каждому базису (системе базисных неизвестных ) соответствует своя симплекс - матрица , базисное решение х = (b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0) и базисное значение целевой функции f(b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0) = b0 (см. Последний столбец !).
    
    Критерий оптимальности плана . Если в последней (целевой) строке симплекс-матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b0, то соответствующий этой матрице план оптимален,
    т.е. сj ? 0 (j = r+1, n) => min f (b1, ... ,b2,0, ... ,0) = b0.
    Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется столбец (S-й), в котором последний элемент сs > 0, a все остальные элементы неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е. сs > 0, ais ? 0 ( i= 1,r ) => min f = -?.
    Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках оптимума надо переходить к следующей матрице с помощью некоторого элемента ais > 0 и следующих преобразований (симплексных):
    все элементы i-й строки делим на элемент a+is;
    все элементы S-го столбца, кроме ais=1, заменяем нулями;
    все остальные элементы матрицы преобразуем по правилу прямоугольника, что схематично показано на фрагменте матрицы и дано в формулах:
    
    
    akl` = akbais - ailaks = akl - ailaks;
    ais ais
    
    bk` = bkais - biaks; cl` = clais - csail
    ais ais
    
    
    Определение. ............