Матрицы

Основные вопросы лекции: общие определения, связанные с понятием матрицы; действия над матрицами; определители 2-го и 3-го порядков; определители порядка n, их вычисление; свойства определителей; обратная матрицы; ранг матрицы.

Матрицей размера mхn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C,…, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойнойиндексацией: aij, где i – номер строки, j – номер столбца:

, i=1, 2,…, m; j=1, 2,…, n

Матрица называется квадратной n – го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Элементы матрицы aij, у которых номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a11, a22, …, ann, а a1n, a2n-1, …, an1 – элементы дополнительной диагонали.

Виды матриц: матрица (вектор) – строка, матрица (вектор) – столбц, диагональная, единичная матрица.

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций.

а) Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число λ называется матрица В=λА, элементы которой bij=λaij для i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, т.е. 0•А= О.

б) Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера mхn называется матрица С=А+В, элементы которой

С=A±B=(aij)±(bij)=(aij±bij)=(cij), i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.

(т.е. матрицы складываются поэлементно).

В частном случае А+0=А.

в) Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц  называется такая матрица , каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В:

Примечание. A*B≠B*A.

Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице А', в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А' называется транспонированной относительно матрицы А:

,

В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например, Ат.

Возведение в степень. Целой положительной степенью Аm (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т.е.

Аm=A*A*…*A (m>1)

m раз

Заметим, что операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.

По определению полагают А0 = Е, А1 = А.

Следом trА квадратной матрицы А называется сумма ее диагональных элементов:

Матрица А-1, обратная к квадратной матрице А, – такая матрица, что

А-1*А=А* А-1=Е (Е – единичная матрица).

Определители

Необходимость введения определителя – числа, характеризующего квадратную матрицу А, – тесно связано с решением систем линейных уравнений. Определитель матрицы А обозначается det (A) или Δ.

Определителем матрицы первого порядка А=(а11), или определителем первого порядка, называется элемент а11: Δ = |А|=а11. Например, пусть А= (3), тогда Δ1 = |А|=3.

Определитель матрицы второго порядка вычисляется по формуле:

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется по правилом треугольника или правилом Сарруса:

Минором Mij элемента aij матрицы n – го порядка называется определитель матрицы (n-1) – го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i – й строки и j – го столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы n – го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j:

Aij=(-1)i+jMij, i, j=1, 2, 3

т.е. ............