ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

 

Определение. Вектором называется направленный отрезок прямой. Точка  называется началом вектора , а точка  – его концом (рис. 1).

Обозначения: , .

Определение. Длина вектора называется его модулем и обозначается ,    .

Определение. Координатами вектора  называются координаты его конечной точки. На плоскости Oxy ; в пространстве Oxyz .

Определение. Суммой и разностью векторов  и  являются соответственно векторы

;

;

произведение вектора  на число l есть вектор

.

Определение. Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

 (на плоскости);

 (в пространстве).

Определение. Расстояние d между двумя точками A и B можно рассматривать как длину вектора , т.е.

 (на плоскости);

 (в пространстве).

Определение. Если два вектора  и перпендикулярны, то

 (на плоскости);

 (в пространстве).

Определение Вектор X называется собственным вектором линейного оператора A (матрицы A), если найдется такое число l, что AX=lX.

Число l называется собственным значением оператора A, заданного  матрицей A, т.е. собственные значения находятся из характеристического уравнения .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

 

Определение Обыкновенное дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее искомую функцию одной переменной и производные различных порядков данной функции.

Определение Порядок старшей производной – порядок дифференциального уравнения.

Определение Решение дифференциального уравнения – такая функция y=y(x), которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

Определение Задача нахождения решения дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения.

Определение Общее решение дифференциального уравнения n- го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменной x и n постоянных. Частное решение при конкретных значениях .

Определение Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

.

Определение Д.у. первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде

.

(Для решения используется замена t=y/x)/

Определение Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

 (линейное неоднородное).

(Сначала решаем уравнение  - линейное однородное, находим y и подставляем в исходное).

Определение Уравнение вида

называется уравнением Бернулли.

(Для решения используется замена ).

Линейные однородное д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами Определение Линейные однородные д.у. второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

=0

(Для решения этого уравнения составляем характеристическое уравнение ).

Теорема 1) Пусть характеристическое уравнение имеет действительные корни l1 и l2, причем . ............