КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ

Кафедра «Автоматизации управления войсками»

Только для преподавателей

"Утверждаю"

Начальник  кафедры № 9

полковник           ЯКОВЛЕВ А.Б.

«____»______________ 2004 г.

доцент                              СМИРНОВА А.И.

"МАТРИЦЫ. МЕТОД ГАУССА"

ЛЕКЦИЯ  № 2 / 3

Обсуждено на заседании кафедры № 9

«____»___________ 2003г.

Протокол  № ___________

Кострома, 2003

Cодержание

 

Введение

1.   Действия над матрицами.

2.   Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Заключение

Литература

 

1.   В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики,том I, гл.2,§6, 7.

2.   В.С. Щипачев,  Высшая математика, гл. 10, § 1, 7.

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

На лекции рассматривается понятие матрицы, действия над над матрицами, а также метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Для частного случая, так называемых квадратных матриц, можно вычислять определители, понятие о которых рассмотрено на предыдущей лекции. Метод Гаусса является более общим, чем рассмотренный ранее метод Крамера решения линейных систем. Разбираемые на лекции вопросы используются в различных разделах математики и в прикладных вопросах.

1-ый учебный вопрос               ДЕЙСТВИЯ  НАД  МАТРИЦАМИ

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.   Прямоугольная  таблица из m,  n чисел, содержащая  m – строк  и   n – столбцов, вида:

называется     матрицей  размера    m ´ n

Числа, из которых составлена матрица, называются  элементами матрицы.

Положение элемента аi j  в матрице характеризуются двойным индексом:

          первый  i – номер строки;

          второй  j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.

Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…

Коротко можно записывать так:   

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.   Матрица,  у  которой  число  строк равно числу столбцов, т.е.  m = n ,  называется    квадратной.

Число  строк  (столбцов)  квадратной  матрицы   называется порядком      матрицы.

 

ПРИМЕР.

         

ЗАМЕЧАНИЕ 1.  Мы будем рассматривать матрицы, элементами которых являются числа. В математике и ее приложениях встречаются матрицы, элементами которых являются другие объекты, например, функции, векторы.

 

ЗАМЕЧАНИЕ 2.  Матрица – специальное математическое понятие. С помощью матриц удобно записывать различные преобразования, линейные системы и т.д., поэтому матрицы часто встречаются в математической и технической литературе.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.   Матрица   размера   1 ´ n,   состоящая  из  одной   строки,  называется    матрицей – строкой.                                   

   Матрица  размера  т ´ 1,   состоящая   из  одного   столбца, называется     матрицей – столбцом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.    Нулевой  матрицей  называют   матрицу,  все  элементы   которой   равны   нулю.

 

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

                                                                            побочная диагональ

                                                                                                                                             главная диагональ

Диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого элемента таблицы к правому нижнему, называется  главной  диагональю  матрицы  (на главной диагонали стоят элементы вида  а i i).

Диагональ, идущая от правого верхнего элемента к левому нижнему, называется побочной диагональю матрицы.

Рассмотрим некоторые частные виды квадратных матриц.

1)   Квадратная матрица называется  диагональной, если все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю.

2)   Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется  единичной. Обозначается:

3)   Квадратная матрица называется  треугольной,  если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:

                                                      

                                            верхняя                                   нижняя      

                                треугольная  матрица            треугольная  матрица

Для квадратной матрицы вводится понятие: определитель матрицы. ............