Основные положения метода конечных элементов и суперэлементов
    Метод конечных элементов (МКЭ) занимает исключительное место в теории расчета конструкций, а его обобщение - метод суперэлементов - позволяет естественным образом ввести и описать идеею иерархически построенных сложных систем.
    Рассмотрим плоскую раму каркаса промышленного здания, стойки которой жестко защемлены в фундаментах, а ригели жестко прикреплены к стойкам. Ограничим рассмотрение случаем, когда на раму действует только узловая нагрузка. Пронумеруем узлы - точки пересечения осей стержней друг с другом и "землей". В каждом узле i рамы на нее могут действовать сосредоточенные силы Fx, Fy и момент М, заданные в некоторой глобальной системе координат, связанной с рамой.
    Введем в рассмотрение вектор {Fi} обобщенных сил, действующих на раму в узле i
     (1)
    Совокупность внешних воздействий на всю раму будет характеризоваться вектором {F}:
    
     (2)
    Где N-число узлов рамы. Размерность этого вектора 3хN (пока не учитываем факт прикрепления некоторых узлов к "земле"). Под действием внешних сил {F} стержни рамы получают деформации, а узлы переместятся. После перемещения узлов рамы будем описывать в глобальной системе координат. Перемещения {?i} каждого узла характеризуется тремя числами - линейными перемещениями ?xi, ?yi и углом поворота ?i, являющимися компонентами вектора обобщенных перемещений узла ?i:
     (3)
    
    А перемещения всей рамы вектором ?:
     (4)
    Здесь, как и выше, не учитываются условия закрепления стоек рамы и узлов.
    Напряженно-деформированное состояние каждого стержня удобнее характеризировать в локальной системе координат, связанной с ним. Ось х' этой системы координат направим от "начала" q стержня к его "концу" r (понятие "начало" и 'конец" условны и нужны только для того, чтобы задать положительное направление на оси х'), ось у' - в плоскости рамы, а ось z' - перпендикулярно плоскости. Положительные направления осей y' и z' выберем так, чтобы они образовывали с x' правую систему координат.
    Проведем в каждом стержне рамы по 2 поперечных сечения на расстоянии, бесконечно близких к узлам - концам стержней q и r. В каждом из полученных решений в общем случае действуют три усилия N, Q, M, приложенные к узлу. Введем вектор обобщенных усилий в сечении с' стержня m:
     (5)
    
    И вектор усилий {fm}, характеризующий напряженное сечение стержня m через векторы усилий в его концевых стержнях q и r ("начале " и "конце")
    
     (6)
    
    (штрих означает, что компоненты {fm'} вычислены в локальной системе координат).
    Вектор {fm'} полностью характеризует напряженно-деформированное состояние стержня, если к его внутренним точкам не приложены внешние воздействия и известны жесткостные характеристики стержня. Разумеется шесть компонент вектора {fm'} связаны между собой уравнениями равновесия стержня как жесткого тела, но эти уравнения в явном виде далее не используются.
    Напряженно-деформированное состояние того же стержня характеризуется и вектором обобщенных перемещений концов стержня q и r, который строится из соответствующих компонент вектора, см. ............